广东省韶关市南雄市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如果方程（m﹣3） $x^{m^{2} - 7}$ ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）

A、±3 B、3 C、﹣3 D、都不对

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2.
下列图形中，中心对称图形有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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3. 把抛物线y=2x²先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）

A、y=2（x+3）²+4 B、y=2（x+3）²﹣4 C、y=2（x﹣3）²﹣4 D、y=2（x﹣3）²+4

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4. 下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）

A、x²+2x﹣4=0 B、x²﹣4x+4=0 C、x²+4x+10=0 D、x²+4x﹣5=0

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5. 将4个数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ ，定义 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ .例如 $| \begin{array}{l} 8 & 9 \\ 3 & 5 \end{array} | = 8 \times 5 - 9 \times 3 = 40 - 27 = 13$ .则方程 $| \begin{array}{l} x & 1 \\ 6 x & x \end{array} | = - 9$ 的根的情况为（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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6. 将二次函数y＝3x²﹣6x+1化成顶点式是（）

A、y＝3（x﹣3）²﹣26 B、y＝3（x﹣3）²﹣8 C、y＝3（x﹣1）²﹣2 D、y＝3（x﹣1）²

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7. 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）

A、（2，10） B、（﹣2，0） C、（2，10）或（﹣2，0） D、（10，2）或（﹣2，0）

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8. 某市体育局要组织一次篮球邀请赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（）

A、(x−1)x=28 B、(x+1)x=28 C、 $\frac{1}{2}$ (x−1)x=28 D、 $\frac{(x + 1) x}{2}$ =28

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9. 二次函数y＝ax²+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图所示的（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：①abc＜0；② $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0$ ；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝ $- \frac{c}{a}$ .其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

11. 关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + x + a^{2} + 3 a - 4 = 0$ 有一个实数根是 $x = 0$ ，则a的值为.

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12. 若点 $P (- 1 - 2 a, 2 a - 4)$ 关于原点对称的点在第一象限内，则 $a$ 的整数解有个．

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13. 如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是．

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14. 计算： $2^{1} - 1 = 1$ ， $2^{2} - 1 = 3$ ， $2^{3} - 1 = 7$ ， $2^{4} - 1 = 15$ ， $2^{5} - 1 = 31$ ，….归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测 $2^{2006} - 1$ 的个位数字是.

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15. 抛物线y＝ax²+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是．

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16. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是°．

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17. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴相交于A，B两点，其顶点为M，将此抛物线在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图像，如图，当直线 $y = - x + n$ 与此图像有且只有两个公共点时，则 $n$ 的取值范围为.

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三、解答题

18. 解下列方程：

(1)、﹣ $\frac{1}{2}$ x²﹣3x+6＝0；

(2)、7x（3﹣x）＝3（x﹣3）（因式分解法）．

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19. 在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（0，1），请按要求画图与作答：
⑴请画出△ABC关于原点成中心对称的△A₁B₁C₁；
⑵请画出△ABC绕着点C顺时针旋转90°后的△A₂B₂C₂；
⑶求△A₂B₂C₂的面积．

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20. 已知关于x的一元二次方程x²﹣2mx+m²﹣m＝0有两个实数根a、b；

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、当a²+b²﹣ab＝0时，求m的值．

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21. 已知二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - \frac{5}{2}$ ．配方成y＝a(x－k)²＋h的形式

(1)、求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；

(2)、求出抛物线与x轴、y轴交点坐标

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22. 正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

(1)、求证：F、C、M三点在一直线上，

(2)、求证：EF＝FM

(3)、当AE＝1时，求EF的长．

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23. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出60件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多？最大盈利为多少元？

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24. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.

(1)、建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；

(2)、该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

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25. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求点D的坐标；

(3)、若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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