高中数学人教A版（2019）必修一第三章函数概念与性质

试卷更新日期：2022-09-13 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， 2)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x - 2)}{\sqrt{x - 3}}$ 的定义域为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(- 2 ， 3)$

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2. 下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 与 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ B、 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{array}$ 与 $g (t) = | t |$ C、 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ D、 $f (x) = x - 1$ 与 $g (x) = \frac{x^{2}}{x} - 1$

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3. 设 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 8$ ，则 $f (x - 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (2 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 4)$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 x ， x < 0 \\ - x^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ ，若 $f (f (m)) \geq 5$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{5}, + \infty)$ B、 $[0, \sqrt{5}]$ C、 $(- \infty, - \sqrt{5}]$ D、 $[- \sqrt{5}, 0]$

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5. 定义 $m a x {a ， b ， c}$ 为 $a ， b ， c$ 中的最大值，设 $h (x) = m a x {x^{2} ， \frac{8}{3} x ， 6 - x}$ ，则 $h (x)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{18}{11}$ B、3 C、 $\frac{48}{11}$ D、4

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x + 1 ， x \geq 1 \\ a^{x} ， x < 1 \end{array}$ 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $1 < a < \frac{3}{2}$ C、 $1 < a < 2$ D、 $1 < a \leq \frac{3}{2}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且对任意互不相等的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，且 $f (- 2) = 0$ ，则 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$

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8. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，不等式 $f (3 m + 1) \geq f (x - 2)$ 对任意的 $x \in [- 1 ， 0]$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ B、[-1，1] C、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ D、[-1，0]

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二、多选题

9. 下列函数中，对任意 $x$ ，满足 $2 f (x) = f (2 x)$ 的是（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = - 2 x$ C、 $f (x) = x - | x |$ D、 $f (x) = x - 1$

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10. 已知 $f (x)$ 为奇函数，且 $f (x + 1)$ 为偶函数，若 $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (3) = 0$ B、 $f (3) = f (5)$ C、 $f (x + 3) = f (x - 1)$ D、 $f (x + 2) + f (x + 1) = 1$

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11. 若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意 $x$ ，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②对于定义域上的任意 $x_{1} 、 x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ . 则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”．给出下列四个函数，能被称为“理想函数”的有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = - x^{3}$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2}_{} (x \geq 0) \\ x^{2}_{} (x < 0) \end{array}$ D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x - \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

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12. 已知 $f (x)$ 为定义在R上的函数，对任意的 $x, y \in$ R，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，并且当 $x < 0$ 时，有 $f (x) < 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (- 2) = 2$ C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上为增函数 D、若 $f (2) = 2$ ，且 $f (a^{2}) - f (2 a - 5) > 4$ ，则实数 $a$ 的取值范围为 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$

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三、填空题

13. 若函数f(x) $= \frac{1}{\sqrt{(a + 2) x^{2} + 4 x + a - 1}}$ 的定义域为R，则实数a的取值范围是．

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14. 已知奇函数 $f (x)$ 满足当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + a x$ ，且 $f (- 1) = - 1$ ，则 $a =$ .

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15. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + 2 m}$ 的图象不经过原点，则实数 $m$ 的值为．

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16. 狄利克雷是德国著名数学家，函数D（x）= ${\begin{matrix} 1 ， x 为有理数 \\ 0 ， x 为无理数 \end{matrix}$ 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D（x）的五个结论：
①若x是无理数，则D（D（x））=0；
②函数D（x）的值域是[0，1]；
③函数D（x）偶函数；
④若T≠0且T为有理数，则D（x+T）=D（x）对任意的x∈R恒成立；
⑤存在不同的三个点A（x₁ ， D（x₁）），B（x₂ ， D（x₂）），C（x₃ ， D（x₃）），使得△ABC为等边角形．
其中正确结论的序号是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明.

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 9) x^{m - 3}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $(2 a - 1)^{m} > (a + 2)^{m}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 若 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解关于x的不等式 $f (a x - a) + f (- x - 2) > 0$ ．

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20. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在正实数 $a$ ，使得对于任意 $x \in D$ ，总有 $x + a \in D$ ，且 $f (x + a) > f (x)$ ，则称 $f (x)$ 是 $D$ 上的“ $a$ 距增函数”.

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} + x$ 是否为 $(0 ， + ∞)$ 上的“1距增函数”，并说明理由；

(2)、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + b$ .若 $f (x)$ 为 $R$ 上的“2021距增函数”，求 $b$ 的取值范围.

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21. 某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量 $M (x)$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $M (x) = {\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 3) ， & 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{50 x}{1 + x} + \frac{5}{3} ， & 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，单株成本投入（含施肥、人工等）为 $30 x$ 元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：
⑴ $\forall x ， y \in [- 1 ， 1] ， f (x + y) = f (x) + f (y)$ ；

⑵ $f (- 1) = 3$ ；

⑶ $\forall m ， n \in [- 1 ， 1]$ ，且 $m + n \neq 0$ ，都有 $(m + n) (f (m) + f (n)) < 0$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若不等式 $2 a t + 4 \leq f_{max} (x)$ 在 $a \in [- 1 ， 1]$ 上有解，求实数 $t$ 的取值范围.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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