陕西省安康市2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 2 \geq 0}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${3 ， 4}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知直线 $l_{1} ： a x - 2 y + 4 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + (a - 3) y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、1或2 D、-1或-2

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3. 已知 $s i n (α + π) - c o s (α + 3 π) = \frac{2}{3}$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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4. “ $m > 6$ ”是“方程 $x^{2} + y^{2} - m x + 4 y + m + 7 = 0$ 是圆的方程”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a = 2^{- 1.01}$ ， $b = 1 . 2^{0.1}$ ， $c = l o g_{4} 3$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{5} + a_{9} = 21$ ， $a_{4} + a_{8} + a_{12} = 42 \sqrt{2}$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、4 B、8 C、16 D、32

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7. 在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别在线段 $A B$ ， $A C$ 上，且 $\vec{D B} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，点 $F$ 是线段 $B E$ 的中点，则 $\vec{D F} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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8. 已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，且直线 $a x + b y - 3 = 0$ 始终平分圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y = 0$ 的周长，则 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值是（）

A、2 B、 $\frac{16}{3}$ C、6 D、16

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x - 2 c o s^{2} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $π$ 的奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 1)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{6} ， \frac{4 π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的值域是 $[- 1 ， 3]$

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10. 已知 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，在直线 $l ： 4 x + 3 y + m = 0$ 上存在点 $P$ ，使 $P A ⊥ P B$ ，则 $m$ 的最大值是（）

A、9 B、11 C、15 D、19

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11. 如图， $D E$ 是边长为4的等边三角形 $A B C$ 的中位线，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使得点A与P重合，平面 $P D E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，则四棱锥 $P - B C D E$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{52 π}{3}$ B、16π C、19π D、28π

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x > 0 ， \\ - x^{2} - 4 x - 3 ， x \leq 0 \end{array}$ 若函数 $y = {[f (x)]}^{2} + m f (x) + 1$ 有6个零点，则m的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， \frac{10}{3})$ B、 $(- 2 ， \frac{10}{3}]$ C、 $(2 ， \frac{10}{3})$ D、 $(2 ， \frac{10}{3}]$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $(k \vec{a} - 4 \vec{b}) / / (\vec{a} - k \vec{b})$ ，则 $k =$ .

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14. 某学生到某工厂进行劳动实践，利用 $3 D$ 打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为 $20 c m$ 的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为 $1 g / c m^{3}$ ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.（取 $π = 3$ ）

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15. 曲线 $y = 2 x l n x + 3$ 过点 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ 的切线方程是.

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16. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = ∠ C B A = 45 °$ ， $A D = 2$ ， $D C = \sqrt{13}$ ， $C B = 1$ ，则 $c o s ∠ A D C =$ .

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三、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{5} = 30$ ， $S_{3} = 57$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值.

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18. 如图，在多面体ABCEF中， $△ A B C$ 和 $△ A C E$ 均为等边三角形，D是AC的中点， $E F / / B D$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ B F$ ．

(2)、若平面 $A B C ⊥$ 平面ACE，求二面角 $A - B C - E$ 的余弦值.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， s i n (2 x + \frac{π}{6}))$ ， $\vec{b} = (c o s (2 x - \frac{π}{3}) ， 1)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、若 $f (α) = \frac{9}{5}$ ，且 $\frac{π}{2} < α < π$ ，求 $f (\frac{α}{2} - \frac{π}{6})$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = {(l o g_{a} x)}^{2} + 2 l o g_{a} x + 3 (a > 0 ， a \neq 1)$ .

(1)、若 $f (3) = 2$ ，求a的值；

(2)、若对任意的 $x \in [8 ， 12]$ ， $f (x) > 6$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知圆C的圆心在直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 上，且圆C经过 $P (2 ， 0)$ ， $Q (3 ， 3)$ 两点.

(1)、求圆C的标准方程.

(2)、设直线 $l ： y = k x + m + 2$ 与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = (6 l n x - 3) x^{2} + 12 a x (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在其定义域内是增函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、定义：若 $f (x)$ 在其定义域内单调递增，且 $f (x) + g (x)$ 在其定义域内也单调递增，则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“协同增函数”.
已知函数 $g (x) = 4 x^{3} - 18 a x^{2} + 12 (2 - a) x$ ，若 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的“协同增函数”，求 $a$ 的取值范围.

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