陕西省2022届高三上学期理数元月联考试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 < 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、（1，4） B、（1，2） C、 $(- 4 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z = (a - 2 i) (1 + 3 i) (a \in R)$ 的实部与虚部的和为12，则 $| z - 5 | =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{9}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，它的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 18$ ， $a_{4} + a_{6} = 90$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、189 B、252 C、324 D、405

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4. 已知 $M$ 为抛物线 $C ：$ $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点，点 $M$ 到 $C$ 的焦点的距离为7，到 $x$ 轴的距离为5，则 $p =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、18 B、36 C、54 D、108

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6. 已知 $a = \sqrt{2}$ ， $b = l o g_{3} 6$ ， $c = 0 . 9^{0.2}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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7. 江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 $x$ 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n 2 x - 1$ ，则下列结论正确的是（）．

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[- π ， - \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x + \frac{π}{12})$ 是奇函数

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9. 已知函数 $f (x) = | x^{2} + 3 x + 1 | - a | x |$ 恰有4个零点，则a的取值范围是（）．

A、 $(5 ， + \infty)$ B、 $(1 ， 5)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1) \cup (5 ， + \infty)$

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10. 在四边形 $A B C D$ 中（如图1所示）， $A B = A D$ ， $∠ A B D = 4 5^{∘}$ ， $B C = B D = C D = 2$ ，将四边形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成四面体 $A^{'} B C D$ （如图2所示），使得 $∠ A^{'} B C = 9 0^{∘}$ ， E，F，G分别为棱 $B C$ ， $A^{'} D$ ， $A^{'} B$ 的中点，连接 $E F$ ， $C G$ ，则下列结论错误的是（）．

A、 $A^{'} C ⊥ B D$ B、直线 $E F$ 与 $C G$ 所成角的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{15}$ C、C，E，F，G四点不共面 D、四面体 $A^{'} B C D$ 外接球的表面积为 $8 π$

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11. 已知 $i \in N^{*}$ ，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···， $2^{i}$ ， $2^{i - 1}$ ， ···，2，1，···的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} > 2022$ ，则 $n$ 的最小值为（）

A、81 B、90 C、100 D、2021

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二、多选题

12. 随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式．某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：
下列结论错误的是（）

A、该款服装这3个月的销售额逐月递减 B、该款服装这3个月的销售总额为23.69万元 C、该款服装8月份和9月份的销售额相同 D、该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，且 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $k =$ .

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14. ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{7}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是．（用数字作答）

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15. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y ⩾ - 1 ， \\ 3 x + y - 5 ⩽ 0 ， \\ 3 x - 2 y + 1 ⩾ 0 ， \end{array}$ 则 $z = x + y$ 的最大值为．

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16. 若曲线 $y = l n x$ 在点 $P (e ， 1)$ 处的切线与曲线 $y = e^{a x}$ 相切，则 $a =$ ．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的面积为S，已知 $a c o s C + c c o s A = \sqrt{3}$ ， $a = \sqrt{2} b$ ．

(1)、求a；

(2)、若 $S = \frac{\sqrt{3}}{12} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，求A．

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18. 某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图．若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标．

(1)、从这15天中随机抽取4天，求抽取的4天中至少有3天的日用电量超标的概率；

(2)、从这15天的样本数据中随机抽取4天的日用电量数据，记这4天中日用电量超标的天数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $P A ⊥$ 圆 $O$ 所在的平面， $C$ 为圆周上一点， $D$ 为线段 $P C$ 的中点， $∠ C B A = 3 0^{°}$ ， $A B = 2 P A$ ．

(1)、证明：平面 $A B D ⊥$ 平面 $P B C$ .

(2)、若 $G$ 为 $A D$ 的中点，求二面角 $P - B C - G$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左，右顶点分别是 $A$ ， $B$ ，且 $M$ ， $N$ 是椭圆 $E$ 上异于 $A$ ， $B$ 的不同的两点．

(1)、若 $k_{A M} \cdot k_{A N} = - \frac{1}{4}$ ，证明：直线 $M N$ 必过坐标原点 $O$ ；

(2)、设点 $P$ 是以 $A M$ 为直径的圆 $O_{1}$ 和以 $A N$ 为直径的圆 $O_{2}$ 的另一个交点，记线段 $A P$ 的中点为 $Q$ ，若 $k_{A M} \cdot k_{A N} = - 1$ ，求动点 $Q$ 的轨迹方程．

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + 2$ ， $g (x) = \frac{1}{a} e^{2 x} - l n \frac{2}{a} (a > 0)$ ．

(1)、设函数 $h (x) = f (x + 1) - x - 2$ ，求 $h (x)$ 的最大值；

(2)、证明： $f (x) \leq g (x)$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ \\ y = 3 + 2 s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ c o s θ - ρ s i n θ + 4 = 0$ ．

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (- 3 ， 1)$ ，若直线l与曲线C交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - \frac{1}{a} | + | 2 x + a | (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、若 $f (\frac{3}{2}) < 6$ ，求 $a$ 的取值范围．

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