山东省枣庄市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 2} ， B = {x \in N | - 1 \leq x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）．

A、 $[- 1 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 ${0 ， 1}$ D、{1}

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2. 已知 $x > 1$ ，则 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是（）．

A、6 B、5 C、4 D、3

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3. 已知 $i$ 为虚数单位，则 $i^{2022} =$ （）．

A、1 B、-1 C、I D、 $- i$

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4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（）．

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $2 \sqrt{2} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ D、π

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5. 已知 $s i n (\frac{π}{6} - α) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $c o s (2 α - \frac{4 π}{3}) =$ （）．

A、 $- \frac{5}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. $θ$ 为第三或第四象限角的充要条件是（）．

A、 $s i n θ < 0$ B、 $c o s θ < 0$ C、 $s i n θ t a n θ < 0$ D、 $c o s θ t a n θ < 0$

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7. 良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%．已知经过x年后，碳14的残余量 $y = k (1 - p)^{x} (k \in R ， k > 0 ， 0 < p < 1 ； x ⩾ 0)$ ，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年代是（）．（参考数据： $l o g_{2} 0.552 \approx - 0.8573$ ）

A、公元前2893年 B、公元前2903年 C、公元前2913年 D、公元前2923年

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8. 已知 $a = t a n (1 + π - \frac{3}{π}) ， b = t a n 0.1 ， c = \frac{0.4}{π}$ ，则（）．

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{4})$ ，则（）．

A、 $f (\frac{3 π}{4} + x) = f (x)$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{3 π}{8}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ 对称

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10. 已知在等腰 $△ O A B$ 中， $C$ 是底边 $A B$ 的中点，则（）．

A、 $(\vec{O B} + \vec{B A})$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量为 $\vec{A C}$ B、在边 $A B$ 上存在点 $D$ 使得 $\vec{O A} \cdot \vec{O D} = 2 \vec{O B} \cdot \vec{O D}$ C、 $(2 \vec{O B} - \vec{O C}) / / (\vec{O A} - 3 \vec{O B})$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = O C^{2} - A C^{2}$

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11. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为 $4 \sqrt{2}$ ，侧棱长为4，点 $M$ 满足 $\vec{A M} =$ $\vec{A A_{1}} + λ \vec{A_{1} B_{1}} + λ \vec{A_{1} D_{1}} (λ \in [0 ， 1])$ ，点 $N$ 在底面A₁B₁C₁D₁内，且 $B N = 5$ ，则（）．

A、线段 $M N$ 长度的最小值为1 B、直线 $B N$ 和平面 $A_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为0.5 C、 $M$ 到直线 $A D_{1}$ 的最小距离为 $2 \sqrt{2}$ D、三棱锥 $A_{1} - B M N$ 的体积可能取值为10

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a - | 2 x + 1 | ， x \leq 1 \\ (x - a)^{3} ， x > 1 \end{array}$ ，若 $y = f (x) - x$ 恰有两个零点，则 $a$ 的可能取值为（）．

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、4 D、6

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三、填空题

13. 设 $⊙ O_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $⊙ O_{2} ： x^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ 相交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B | =$ ．

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14. 若 $y = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则 $\frac{φ}{ω}$ 的值为．

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15. 已知点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的右支上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为左、右焦点， $O$ 为坐标原点，过点 $F_{1}$ 向 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线作垂线，垂足为 $Q$ ，则 $| O Q | =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 x - 3) e^{x} ， & x > 0 ， \\ e x + a ， & x \leq 0 . \end{array}$ 若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) ，$ 且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最大值为4，则实数a的值为．

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四、解答题

17. 若 ${(a x - \frac{1}{x})}^{6} (a \in R)$ 的展开式中的常数项为 $- 20$ ．

(1)、求a；

(2)、若 $a_{0} x^{2022} + a_{1} x^{2021} (1 - x) + a_{2} x^{2020} (1 - x)^{2} + ⋯ + a_{2022} (1 - x)^{2022} = a$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{2022}$ ．

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18. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c ， a = 6 ， b^{2} - b c + c^{2} = 36$ ．

(1)、求A；

(2)、从以下三个条件：① $b = 8$ ；② $s i n B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；③ $A C$ 边上的高 $B H = \frac{11}{2}$ 中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， Q为 $A D$ 的中点， $△ P A D$ 是边长为2的正三角形， $B C = 1 ， C D = \sqrt{3} ， P B = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ；

(2)、棱 $P C$ 上是否存在点 $M$ ，使二面角 $M - B Q - C$ 的大小为 $3 0^{∘}$ ？若存在，确定点 $M$ 的位置；若不存在，说明理由．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，公差 $d > 0$ ，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项．

(1)、求 $d$ 的值；

(2)、设 ${a_{n}}$ 中不包含 ${b_{n}}$ 的项按从小到大的顺序构成新数列 ${c_{n}}$ ，记 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{200}$ ．

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21. 如图， $A$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左顶点，过原点且异于 $x$ 轴的直线与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，直线 $A M ， A N$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 8$ 的另一交点分别为 $P ， Q$ ．

(1)、设直线 $A M ， A N$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；

(2)、设 $△ A M N$ 与 $△ A P Q$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - a (a \in R)$ ．

(1)、若 $\forall x > 0 ， f (x) ⩽ x$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $\forall x > 0 ， f (x) (e^{x - 1} - b) ⩾ 0 (b \in R)$ ，证明 $a - b ⩽ - 1$ ．

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