山东省日照市校际联合考试2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x \in N ∣ 0 \leq x \leq 3} ， Q = {x ∣ x^{2} - 1 > 0}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 $[1 ， 3]$ B、 $(1 ， 3]$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 若复数z在复平面内对应的点是 $(1 ， - 1)$ ，则 $\frac{1}{z - 1} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、-1

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3. 在 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则 $n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 已知△ $A B C$ 是边长为1的等边三角形，点 $D ， E$ 分别是边 $A B ， B C$ 的中点，且 $\vec{D E} = 3 \vec{E F}$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、1 D、-8

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5. 某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教 (每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为（）

A、48 B、60 C、96 D、168

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6. 设函数 $f_{0} (x) = | x |$ ， $f_{1} (x) = | f_{0} (x) - 1 |$ ， $f_{2} (x) = | f_{1} (x) - 2 |$ ，则函数 $f_{2} (x)$ 的图象与 $x$ 轴所围成图形中的封闭部分面积是（）

A、6 B、8 C、7 D、9

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7. 十八世纪，数学家泰勒发现了公式 $s i n x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!}$ $+ ⋯ + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} +$ …，其中 $n \in N^{*} ， x \in R$ ，若 $T = 1 - \frac{3^{2}}{2!} + \frac{3^{4}}{4!} - \frac{3^{6}}{6!} + ⋯ + (- 1)^{n - 1} \frac{3^{2 n - 2}}{(2 n - 2)!} + ⋯$ ，下列选项中与 $T$ 的值最接近的是（）

A、 $- c o s 8^{∘}$ B、 $- s i n 8^{∘}$ C、 $- c o s 1 8^{∘}$ D、 $- s i n 1 8^{∘}$

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8. 在底面半径为12的圆柱内，有两个半径也为12的球面，其球心距为26，若作一平面与这两个球面相切，且与圆柱交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和为（）

A、44 B、46 C、48 D、50

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二、多选题

9. 如图是某市2021年 $2 ∼ 12$ 月居民消费价格指数(CPI)月度涨跌幅度折线图(同比增长率= (今年第 $n$ 个月-去年第 $n$ 个月) $\div$ 去年第 $n$ 个月，环比增长率 $=$ (现在的统计周期-上一个统计周期），正确的是（）

A、2021年9月CPI环比上升 $0.5 %$ ，同比上涨 $2.1 %$ B、2021年9月CPI环比上升 $0.2 %$ ，同比无变化 C、2021年3月CPI环比下降 $1.1 %$ ，同比上涨 $0.2 %$ D、2021年3月CPI环比下降 $0.2 %$ ，同比上涨 $1.7 %$

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象由函数 $g (x) = c o s x$ 的图象经如下变换得到：先将 $g (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则下列正确的是（）

A、 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{6})$ B、函数 $f (x)$ 关于 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的值域为 $[- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 1$ ，则 $x_{1} - x_{2} = k π ， k \in Z$

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11. 数列 ${a_{n}}$ 的各项均是正数， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{2} = \frac{3}{2}$ ，函数 $y = \frac{1}{3} x^{3}$ 在点 $(a_{n} ， \frac{1}{3} a_{n}^{3})$ 处的切线过点 $(a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} ， \frac{7}{3} a_{n}^{3})$ ，则下列正确的是（）

A、 $a_{3} + a_{4} = 18$ B、数列 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 是等比数列 C、数列 ${a_{n + 1} - 3 a_{n}}$ 是等比数列 D、 $a_{n} = \frac{1}{2} \cdot 3^{n - 1}$

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12. 焦点为 $F$ 的抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x$ 与圆 $C_{2} ： (x - 1)^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点，其中 $A$ 点横坐标为 $x_{A}$ ，方程 ${\begin{array}{l} y^{2} = 4 x ， x \leq x_{A} \\ (x - 1)^{2} + y^{2} = r^{2} ， x > x_{A} \end{array}$ 的曲线记为 $Γ ， C$ 是圆 $C_{2}$ 与 $x$ 轴的交点， $O$ 是坐标原点，则下列正确的是（）

A、给定 $α = \frac{2 π}{3}$ ，对于任意 $r$ ，圆弧 $\overset{⌢}{A C B}$ 所对的圆心角 $∠ A F B \leq α$ B、对于给定的角 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，存在 $r$ ，使得圆弧 $\overset{⌢}{A C B}$ 所对的圆心角 $∠ A F B < α$ C、对于任意 $r$ ，该曲线有且仅有一个内接正 $△ O P Q$ D、当 $r > 2022$ 时，存在面积大于2022的内接正 $△ O P Q$

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三、填空题

13. 已知 $x > \frac{5}{4}$ ，则函数 $y = 4 x + \frac{1}{4 x - 5}$ 的最小值为.

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14. 在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 $g (x) = \sqrt{a^{2} + 1}$ 的图像所围成封闭图形的面积为.

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15. 如图，棱长为 $3$ 的正方体的顶点 $A$ 在平面 $α$ 内，三条棱 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 都在平面 $α$ 的同侧. 若顶点 $B$ ， $C$ 到平面 $α$ 的距离分别为 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ，则平面 $A B C$ 与平面所成锐二面角的余弦值为

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 + 2 l n x ， x \geq 1 \\ x + 1 ， x < 1 \end{array}$ ，若 $p \neq q$ 且 $f (p) + f (q) = 4$ ，则 $p + q$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $3 b^{2} + 3 c^{2} = 3 a^{2} + 2 b c$ .

(1)、求 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $\sin B = 2 \sin C$ ，求 $\tan C$ 的值.

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18. 数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = S_{n} + 1$ ，数列{bn}满足 $a_{1} = b_{1}$ ，点 $P (b_{n} ， b_{n + 1})$ $(n \in N^{*})$ 在直线 $x - y + 3 = 0$ 上.

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 中满足：① $a_{n} < 999$ ；②存在 $m \in N^{*}$ 使 $b_{m} = a_{n}$ 的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和.

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19. 如图所示，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C ⊥ B B_{1}$ ， $A B ⊥ B B_{1}$ ， $A B = B C = B B_{1} = 2 A_{1} B_{1}$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 120 °$ ，求平面 $A B_{1} C$ 和平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 2021年某出版社对投稿某期刊的600篇文章进行评选，每篇文章送3位专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的文章，将认定为“不入围文章”，有且只有1位专家评议意见为“不合格”的文章，将再送 2 位专家进行复评，2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的文章，将认定为“不入围文章”.设每篇文章被每位专家评议为“不合格”的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，且各篇文章是否被评议为“不合格”相互独立.

(1)、记一篇参评的文章被认定为“不入围文章”的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ ；

(2)、若拟定每篇文章需要复评的评审费用为1500元，不需要复评的评审费用为900元；除评审费外，其他费用总计为10万元.该出版社总预算费用为80万元，现以此方案实施，问是否会超过预算? 并说明理由.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一动圆经过点 $A (\frac{1}{2} ， 0)$ 且与直线 $x = - \frac{1}{2}$ 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线 $K$ ， $P$ 是曲线 $K$ 上一点.

(1)、求曲线 $K$ 的方程；

(2)、过点 $A$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $K$ 交于 $B ， C$ 两点，若 $l / / O P$ 且直线 $O P$ 与直线 $x = 1$ 交于 $Q$ 点，求 $\frac{| A B | \cdot | A C |}{| O P | \cdot | O Q |}$ 的值；

(3)、若点 $D ， E$ 在 $y$ 轴上， $△ P D E$ 的内切圆的方程为 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $△ P D E$ 面积的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - a x + b$ ，中 $a ， b \in R$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a = 1 ， b \in [0 ， 2] ， φ (x) = k x - x l n x - 1$ ，对任意实数 $x \in [1 ， e] ， f (x) \geq φ (x)$ 恒成立，求 $k - 2 b$ 的最大值.

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