山东省青岛市莱西市2021-2022学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | x^{2} - 2 x > 0}$ ， $B = {- 3 ， - 2 ， 0 ， 1 ， 2 ， 4}$ ， $C = A ∩ B$ ，则集合C的真子集的个数为（）

A、4 B、7 C、8 D、16

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2. 已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）

A、∀x∈R，f(－x)≠f(x) B、∀x∈R，f(－x)≠－f(x) C、∃x₀∈R，f(－x₀)≠f(x₀) D、∃x₀∈R，f(－x₀)≠－f(x₀)

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3. 设随机变量 $X ~ N (2 ， σ^{2})$ ， $P (0 < X < 4) = 0.3$ ， $P (X < - 1) = m$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $m = 0.35$ B、 $m = 0.7$ C、 $0.35 < m < 0.7$ D、 $0 < m < 0.35$

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4. 如果两条直线 $l_{1} ： (m + 2) x + (m^{2} - 3 m) y + 4 = 0$ 与 $l_{2} ： 4 x + 2 (m - 3) y + 7 = 0$ 平行，则实数m的值为（）

A、2 B、﹣3 C、﹣3或2 D、3或2

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5. 要得到 $y = c o s (3 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只需将 $y = s i n 3 x$ 的图象（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度 D、向左平行移动 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度

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6. 已知 $3^{x} = 4^{y} = 6^{z} \neq 1$ ，则下列结论正确的为（）

A、数列 $\frac{1}{x}$ ， $\frac{1}{2 z}$ ， $\frac{1}{2 y}$ 是等差数列 B、数列 $\frac{1}{x}$ ， $\frac{1}{z}$ ， $\frac{1}{2 y}$ 是等差数列 C、数列 $\frac{1}{x}$ ， $\frac{1}{z}$ ， $\frac{1}{2 y}$ 是等比数列 D、数列 $\frac{1}{x}$ ， $\frac{1}{2 z}$ ， $\frac{1}{2 y}$ 是等比数列

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7. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：
跳绳
性别
合计
男
女
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
已知 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $P (χ^{2} \geq 10.828) = 0.001$ ，根据小概率值 $α = 0.001$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，以下结论正确的为（）

A、爱好跳绳与性别有关 B、爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C、爱好跳绳与性别无关 D、爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 3 ， x \geq 0 \\ 1 + 4 x c o s (2 π - π x) ， x < 0 \end{array}$ ， $g (x) = k x + 1$ ，若函数 $y = f (x) - g (x)$ 在 $x \in [- 2 ， 3]$ 内有3个不同的零点，则实数k的取值范围为（）

A、 $2 \sqrt{2} < k \leq \frac{11}{3}$ B、 $k = 2 \sqrt{2}$ 或 $\frac{11}{3} < k < 4$ C、 $- 4 < k < 2 \sqrt{2}$ D、 $k = - 4$ 或 $k > \frac{11}{3}$

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二、多选题

9. 设a，b是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，P是一个点，则下列选项正确的为（）

A、若 $α / / β$ ， $a \subset α$ ，则 $a / / β$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α ∩ β = b$ ， $P \in α$ ， $P \in a$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $α ⊥ γ$ ， $α / / β$ ，则 $β ⊥ γ$

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10. 已知复数 $z = a + (1 - a^{2}) i$ ， $i$ 为虚数单位， $a \in R$ ，则下列正确的为（）

A、若z是实数，则 $a = - 1$ B、复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上 C、 $| z | \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、若 $z = 2 \bar{z} + 1$ ，则 $a = \pm 1$

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11. 已知两个向量 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 满足 $| \vec{e_{1}} | = 2$ ， $| \vec{e_{2}} | = 1$ ， $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若向量 $2 t \vec{e_{1}} + 7 \vec{e_{2}}$ 与向量 $\vec{e_{1}} + t \vec{e_{2}}$ 的夹角为钝角，则实数 $t$ 可能的取值为（）

A、-6 B、 $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列判断正确的为（）

A、 $| A B |$ 的最小值为 $\frac{32}{3}$ B、以F为焦点的抛物线的标准方程为 $y^{2} = 20 x$ C、满足 $| A B | = 2$ 的直线有3条 D、若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率 $k \in (- \infty ， - \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 在 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为；

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14. 记函数 $f (x) = \frac{n}{2} x + l n x (n \in N_{+})$ 的图像在点 $(\frac{2}{n} ， f (\frac{2}{n}))$ 处的切线的斜率为 $a_{n}$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ， $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，若 $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ ，则角 $C =$ .

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ， $Q$ 为 $B C$ 的中点，点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $A B$ ， $C D$ 上运动（其中 $M$ 不与 $A$ ， $B$ 重合， $N$ 不与 $C$ ， $D$ 重合），且 $M N / / A D$ ，沿 $M N$ 将 $Δ D M N$ 折起，得到三棱锥 $D - M N Q$ ．当三棱锥 $D - M N Q$ 体积最大时，其外接球的表面积的值为．

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四、解答题

17. 在△ $A B C$ 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边， $\vec{m} = (2 a + c ， b)$ ， $\vec{n} = (c o s B ， c o s C)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ .

(1)、求角B大小；

(2)、设 $f (x) = 2 c o s x s i n (x + \frac{π}{3}) - 2 s i n^{2} x s i n B + 2 s i n x c o s x c o s (A + C)$ ，当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值及相应的x.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{n}$ ， $S_{n}$ 为等差数列；数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 6$ ， $b_{n} = S_{n} + \frac{1}{a_{n}} + 4$ .

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(2)、若对于 $\forall n \in N^{*}$ ，总有 $\frac{3 n - 20}{a_{n}} < \frac{7 m - 4}{64}$ 成立，求实数m的取值范围.

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19. 现有混在一起质地均匀且粗细相同的长度分别为1 $m$ ､2 $m$ ､3 $m$ 的钢管各3根（每根钢管附有不同的编号），现随机抽取4根（假设各钢管被抽取的可能性是相等的），再将抽取的这4根首尾相接焊成笔直的一根.

(1)、记事件 $A =$ “抽取的4根钢管中恰有2根长度相同”，求 $P (A)$ ；

(2)、若用 $ξ$ 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）， $η = 2 λ ξ - 7$ ， $E (η) > 1$ ，求 $ξ$ 的分布列和实数 $λ$ 的取值范围.

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20. 在如图所示的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为菱形， $∠ A B B_{1} = 60 °$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 4$ ， $B B_{1} ⊥ A C$ .

(1)、求证：平面 $B B_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面ABC的夹角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e = \frac{1}{3}$ ， A，B为其左､右顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为其左､右焦点，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $l ： x + y + \sqrt{2} = 0$ 相切，点P是椭圆C上的一个动点（P异于A，B两点），点Q与点P关于原点对称，分别连接AP， $Q F_{2}$ 并延长交于点M，连接 $P F_{2}$ 并延长交椭圆C于点N，记△ $A F_{2} M$ 的面积与 $△ A F_{2} N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $2 S_{1} = 5 S_{2}$ ，求点 $P$ 的坐标.

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22. 已知 $f (x) = l n (a x + b) - x$ ，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上为减函数的充要条件；

(2)、求 $y = f (x^{2})$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上的最大值；

(3)、解关于x的不等式： $l n (1 + \sqrt{s i n 2 x + c o s 2 x}) + 1 \geq \sqrt{s i n 2 x + c o s 2 x} + l n 2$ .

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跳绳	性别		合计
跳绳	男	女	合计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
合计	60	50	110