山东省青岛市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 $[- 1 ， 2]$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $\frac{1 - i}{1 + 2 i}$ 的共扼复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 现有橡皮泥制作的表面积为 $4 π$ 的球，若将其重新制作成体积不变，高为1的圆锥，则圆锥的母线长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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4. 已知角 $α$ 的终边上一点P的坐标为 $(s i n \frac{5 π}{6} ， c o s \frac{5 π}{6})$ ，则角 $α$ 的最小正值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{7 π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{3}$

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5. 如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）

A、深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B、深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降 C、平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 D、平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

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6. 已知圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + a = 0$ 截直线 $x + y + 2 = 0$ 所得弦的长度为4，则实数a的值是（）

A、-8 B、-6 C、-4 D、-2

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7. 抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的准线与双曲线 $\frac{x {}_{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、4

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8. 已知 $a = \frac{3}{2 π} ， b = s i n \frac{1}{2} ， c = \frac{9}{4 π^{2}}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、a<c<b D、c<a<b

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二、多选题

9. $(\frac{a}{x} + x^{2}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中各项系数之和为2，则其中正确的是（）

A、a=1 B、展开式中含 $x^{7}$ 项的系数是-32 C、展开式中含 $x^{- 1}$ 项 D、展开式中常数项为40

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10. 对于函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $f (x) \geq f (- \frac{π}{18})$ 恒成立，则 $ω$ 的最小值为 $2$ B、当 $ω = 2$ 时， $[k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$ 是单调增区间 C、当 $ω = 2$ 时， $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 D、当 $ω = 2$ 时， $f (x)$ 的图象可由 $y = c o s (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向右移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到

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11. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2} = p$ ， ( $n \geq 2 ， n \in N^{*} ， p$ 为常数)，则称 ${a_{n}}$ 为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A、 ${{(- 1)}^{n}}$ 是等方差数列 B、若数列 ${a_{n}}$ 既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列 C、正项等方差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{5}$ 是等比数列，则 $a_{n} = 2 n - 1$ D、若等方差数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，公方差为2，若将 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ ， … $a_{10}$ 这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M ， N$ 分别为 $B B_{1} ， A B$ 的中点.下列说法正确的是（）

A、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的表面积为 $3 π$ B、面 $A N D_{1}$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球所得圆的面积为 $\frac{3 π}{4}$ C、三棱锥 $A - M N D_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{24}$ D、直线 $A M$ 与面 $A N D_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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三、填空题

13. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当x≥0时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集是；

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14. 已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70
根据上表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = 7$ ，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为万元；

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15. 已知在边长为4的等边 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} =$ ；

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16. 已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A ， B ， C$ ，且 $s i n A ， s i n B ， s i n C$ 成等差数列，则角 $B$ 的取值范围是； $2 s i n B + \sqrt{3} s i n 2 B$ 最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{c o s A}{a} + \frac{c o s C}{c} = \frac{1}{b}$ ，且 $b = \sqrt{6} ， c > b > a$ .

(1)、求 $a c$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{95}}{4}$ ，求 $a ， c$ 的值.

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18. 给定数列 ${a_{n}}$ ，若满足 $a_{1} = a (a > 0 ，且 a \neq 1)$ ，对于任意的 $m ， n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} \cdot a_{n}$ ，则称 ${a_{n}}$ 为“指数型数列”.

(1)、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3^{n}$ ，证明： ${a_{n}}$ 为“指数型数列”；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1 ， a_{n} = 2 a_{n + 1} + a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ；
（I）判断 ${\frac{1}{a_{n}} + 1}$ 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意

(1)、若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少2人非常满意的概率；

(2)、相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满意指数= $\frac{满意度平均分}{100}$ )

(3)、在等级为不满意的市民中，老人占 $\frac{1}{3}$ ，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X).

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20. 如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面ABCD，M为BC中点，且 $A D = \sqrt{2} ， D C = 1$ .

(1)、求证：面 $P A M ⊥$ 面PDB；

(2)、若两条异面直线AB与PC所成的角为45°，求面PAM与面PBC夹角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，过 $(0 ， 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆C相切于第一象限的T点.

(1)、求椭圆C的方程和T点坐标；

(2)、设O为坐标原点，直线 $l^{'}$ 平行于直线OT，与椭圆C交于不同两点A，B，且与直线l交于点P.证明： $\frac{| P A | \cdot | P B |}{{| P T |}^{2}}$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x) 在 x = \frac{1}{e^{2}}$ 处的切线方程；

(2)、若方程 $f (x) = m$ 有两个实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{2} > x_{1}$
（I）求m的取值范围；
（Ⅱ）求证： $x_{2} - x_{1} < 1 + \frac{1}{e^{2}} + 2 m$ .

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满意度评分	低于60分	60分到79分	80分到89分	不低于90分
满意度等级	不满意	基本满意	满意	非常满意