山东省临沂市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq \frac{8}{3} ， x \in N}$ ，集合 $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 2}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + 6 i}{1 - i}$ ， $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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3. 已知 $s i n α = \frac{\sqrt{3}}{2} ， α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间 $X ~ N (8 ， 1)$ ，则每天的睡眠时间为5~6小时的学生人数约为（）（结果四舍五入保留整数）
（附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$

A、163 B、51 C、26 D、20

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5. 若 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）

A、90 B、-90 C、180 D、-180

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6. 为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有（）种

A、50 B、60 C、80 D、100

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7. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，设命题 $p$ ： $2^{x} + 2^{y} \geq 4$ ，命题 $q$ ： $x y \geq 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 过双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点 $F$ ，作直线 $l$ 交 $C$ 的两条渐近线于A，B两点，A，B均位于 $y$ 轴右侧，且满足 $\vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{F B}$ ， $O$ 为坐标原点，若 $∠ O B A = 30 °$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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二、多选题

9. 某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）

A、该次数学史知识测试及格率超过90% B、该次数学史知识测试得满分的同学有15名 C、该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D、若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名

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10. 若函数 $f (x) = c o s^{2} (\frac{3 π}{2} - x) - \frac{1}{2} s i n (π + 2 x)$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、最大值为1 B、最小正周期为π C、 $f (\frac{π}{4} + x) + f (- x) = 1$ D、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 上单调递增

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11. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ ， $P (x_{1} ， y_{1})$ 在圆 $C_{1}$ 上， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 在圆 $C_{2}$ 上，则（）

A、 $| P Q |$ 的取值范围是 $[1 ， 3]$ B、直线 $x_{1} x + y_{1} y = 1$ 是圆 $C_{1}$ 在 $P$ 点处的切线 C、直线 $x_{1} x + y_{1} y = 4$ 与圆 $C_{2}$ 相交 D、直线 $x_{2} x + y_{2} y = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 相切

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12. 四棱锥 $P - A B C D$ 的顶点都在球心为 $O$ 的球面上，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A B = 2 ， A D = 4$ 设 $E ， F$ 分别是 $P B ， B C$ 的中点，则（）

A、平面 $A E F$ $∥$ 平面 $P C D$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的半径为 $\sqrt{6}$ C、 $P ， B ， C$ 三点到平面 $A E F$ 的距离相等 D、平面 $A E F$ 截球 $O$ 所得的截面面积为 $\frac{14 π}{3}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = l n x + x^{2} - 1$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为．

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14. 为研究数学成绩与物理成绩是否具有线性相关性，李老师将班级里4位同学的某次数学成绩和物理成绩记录如下表所示：
学生编号
1
2
3
4
数学分数x
98
102
118
122
物理分数y
80
83
m
100
经检验数学成绩确实与物理成绩具有相关性，且线性回归方程为 $\hat{y} = 0.85 x - 3.5$ ，则表中 $m =$ ．

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15. 抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线是l，O是坐标原点，P在抛物线上满足 $| O P | = | P F |$ ，连接FP并延长交准线l与Q点，若 $△ O F Q$ 的面积为 $8 \sqrt{2}$ ，则抛物线C的方程是．

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16. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 3$ 且 $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = 2$ ，则 $a_{4} - a_{3} =$ ，数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} =$ ．

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $s_{n}$ ，且满足 $s_{n + 1} = s_{n} + a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ， $2 s_{5} = 3 (a_{4} + a_{6})$ ．

(1)、求数列的通 ${a_{n}}$ 项公式：

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + {(\frac{1}{2})}^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 中，D是AC边的中点． $B A = 3$ ， $B C = \sqrt{7}$ ， $B D = \sqrt{7}$ ．

(1)、求AC的长；

(2)、 $∠ B A C$ 的平分线交BC于点E，求AE的长．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C ∥ A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $A D = 2 D C = 2 C B$ ，点E为 $A P$ 的中点.

(1)、证明： $B E ∥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求二面角 $P - B D - E$ 的余弦值.

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20. 一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本.用 $X$ 表示样本中一等品的个数.

(1)、若有放回地抽取，求 $X$ 的分布列；

(2)、若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例.
①求误差不超过0.2的 $X$ 的值；
②求误差不超过0.2的概率（结果不用计算，用式子表示即可）

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21. 如图，椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $l$ ： $x + 2 y - 4 = 0$ 与 $Γ$ 只有一个公共点 $M$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程.

(2)、不经过原点 $O$ 的直线 $l^{'}$ 与 $O M$ 平行且与 $Γ$ 交于A，B两点，记直线MA，MB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} + k_{2}$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - c o s x$ ， $g (x) = f (x) - x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，求a的最大值；

(2)、当a取（1）中所求的最大值时，讨论 $g (x)$ 在R上的零点个数，并证明 $g (x) > - \sqrt{2}$ ．

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学生编号	1	2	3	4
数学分数x	98	102	118	122
物理分数y	80	83	m	100