辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 < 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、（1，4） B、（1，2） C、 $(- 4 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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2. 复数 $z = \frac{5 + 5 i}{1 - 3 i}$ 的实部与虚部之和为（）

A、1 B、－1 C、3 D、－3

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3. “ $a < b < 0$ ”是“ $4^{a - b} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若 $P (0 ， 1)$ 为圆 $x^{2} + 2 x + y^{2} - 15 = 0$ 的弦 $M N$ 的中点，则直线 $M N$ 的方程为（）

A、 $y = - x + 1$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = 2 x + 1$ D、 $y = - 2 x + 1$

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5. 江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 $x$ 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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6. 已知 $a = \sqrt{2}$ ， $b = l o g_{3} 6$ ， $c = 0 . 9^{0.2}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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7. 若函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 与函数 $g (x) = 2 c o s (2 x - \frac{π}{4})$ 都在区间 $[a ， b]$ 上单调递增，则 $b - a$ 的最大值是（）

A、 $\frac{5 π}{24}$ B、 $\frac{7 π}{24}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{23 π}{48}$

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8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A A_{1} = 2 B C$ ．若堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积是40π，则堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积的最大值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、 $16 \sqrt{2}$ D、 $32 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知 $a > 1$ ，则 $2 a + \frac{2}{a - 1}$ 的取值可以是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式．某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：
下列结论错误的是（）

A、该款服装这3个月的销售额逐月递减 B、该款服装这3个月的销售总额为23.69万元 C、该款服装8月份和9月份的销售额相同 D、该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额

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11. 已知函数 $f (x) = | x^{2} + 3 x + 1 | - a | x |$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $f (x)$ 没有零点，则 $a \in (- \infty ， 0)$ B、若 $f (x)$ 恰有2个零点，则 $a \in (1 ， 5)$ C、若 $f (x)$ 恰有3个零点，则 $a = 1$ 或 $a = 5$ D、若 $f (x)$ ）恰有4个零点，则 $a \in (5 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = 4 \ln x - k x - k + 8$ ，若关于x的不等式 $f (x) \leq 0$ 恒成立，则k的取值可以为（）

A、1 B、e C、4 D、 $e^{2}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，且 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $k =$ .

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14. ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{7}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是．（用数字作答）

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15. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面ABC， $P A = 1$ ， $A B = B C = 3$ ， $A C = 4 \sqrt{2}$ ，则PB与平面PAC所成角的正切值为．

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16. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过点F的直线 $l ： x - m y - m = 0$ 与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且 $\frac{| A F |}{| B F |} = 2$ ，则 $△ A B O$ （O为坐标原点）的面积是．

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四、解答题

17. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 6$ ， $S_{9} = 90$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图．若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标．

(1)、从这15天中随机抽取4天，求抽取的4天中至少有3天的日用电量超标的概率；

(2)、从这15天的样本数据中随机抽取4天的日用电量数据，记这4天中日用电量超标的天数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， $B C ∥ A D$ ， $A D ⊥ A B$ ， E，F分别是棱AB，PC的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面PAD．

(2)、若 $P A = A B = B C$ ， $A D = 2 B C$ ，求平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值．

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20. 如图，某水域的两条直线型岸边 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ，某渔民准备安装一直线型隔离网BC（B，C分别在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上），围出养殖区△ $A B C$ ．

(1)、若 $B C = 6 k m$ ，求养殖区△ $A B C$ 面积（单位： $k m^{2}$ ）的最大值；

(2)、若△ $A B C$ 是锐角三角形，且 $A B = 4 k m$ ，求养殖区△ $A B C$ 面积（单位： $k m^{2}$ ）的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = a (x - 1) - (x + 1) l n x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程；

(2)、若关于x的不等式 $\frac{f (x)}{x + 1} < 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $A (- \sqrt{6} ， 0)$ ， $B (\sqrt{6} ， 0)$ ，动点 $E (x ， y)$ 满足直线AE与BE的斜率之积为 $- \frac{1}{3}$ ，记E的轨迹为曲线C．

(1)、求C的方程，并说明C是什么曲线．

(2)、过点 $D (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 交C于P，Q两点，过点P作直线 $x = 3$ 的垂线，垂足为G，过点O作 $O M ⊥ Q G$ ，垂足为M．证明：存在定点N，使得 $| M N |$ 为定值．

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