辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = i (1 - 2 i)$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、1 C、2 D、2i

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2. 已知集合 $A = {x | 0 < x + 2 < 5}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 4}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $[- 2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 2]$

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3. 已知直线 $l_{1} ： (a - 2) x + y + 3 = 0$ ， $l_{2} ： x + a y + 4 = 0$ ，其中 $a \in R$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则向量 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、-1 D、1

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5. 记 $S_{n}$ 为等比数列 $a_{n}$ 的前n项和．若 $a_{5} - a_{3} = 12$ ， $a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $\frac{a_{n}}{S_{n}} =$ （）

A、 $\frac{a_{n}}{S_{n}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n + 1}}$ B、 $\frac{a_{n}}{S_{n}} = \frac{2^{n} + 1}{2^{n - 1}}$ C、 $\frac{a_{n}}{S_{n}} = \frac{2^{n - 1}}{2^{n} - 1}$ D、 $\frac{a_{n}}{S_{n}} = \frac{2^{n - 1}}{2^{n} + 1}$

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6. 正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作 $Y ~ N (μ ， σ^{2})$ ．当 $μ = 0$ ， $σ = 1$ 的正态分布称为标准正态分布，如果令 $X = \frac{Y - μ}{σ}$ ，则可以证明 $X ~ N (0 ， 1)$ ，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果 $X ~ N (0 ， 1)$ 那么对任意的a，通常记 $Φ (a) = P (X < a)$ ，也就是说， $Φ (a)$ 表示 $N (0 ， 1)$ 对应的正态曲线与x轴在区间 $(- \infty ， a)$ 内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36， $Φ (2) = 0.9772$ ，那么成绩落在 $(88 ， 112]$ 的人数大约为（）

A、756 B、748 C、782 D、764

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7. 如图所示的为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．杯子整体可以近似看作是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上杯口外直径为 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ ，下底座外直径为 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ ，杯身最细之处到上杯口的距离是到底座下边缘距离的2倍，若双曲线C的离心率为2，则唐·金筐宝钿团花纹金杯高是（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、6 D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶；正四面体的重心，四条高的交点，外接球、内切球球心共点.4个半径为1的小球装入一个正四面体内，下列四个结论中错误的是（）

A、四面体最小体积 $V = \frac{2 \sqrt{3} {(\sqrt{6} + 1)}^{3}}{3}$ B、四面体最小表面积 $S = 4 \sqrt{3} {(\sqrt{6} + 1)}^{2}$ C、四面体最短棱长 $a = 2 (\sqrt{6} + 1)$ D、四面体最小高 $h = \frac{12 + 2 \sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 已知m，n是互不重合的直线， $α$ ， $β$ 是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ， $α ∩ β = n$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ∥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ， $α ∥ β$ ，则 $n ∥ β$

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10. 将函数 $f (x) = c o s \frac{ω x}{2} (2 s i n \frac{ω x}{2} - 2 \sqrt{3} c o s \frac{ω x}{2}) + \sqrt{3} (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $y = g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上为增函数，则 $ω$ 的值可能为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 对于一个函数 $y = f (x) (x \in D)$ ，若存在两条距离为 $d$ 的直线 $y = k x + m_{1}$ 和 $y = k x + m_{2}$ ，使得 $k x + m_{1} \leq f (x) \leq k x + m_{2}$ 在 $x \in D$ 时恒成立，称函数 $f (x)$ 在D内有一个宽度为 $d$ 的通道．则下列函数在 $[1 ， + \infty)$ 内有一个宽度小于等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的通道的有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{2} (s i n x + c o s x)$ B、 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2} e^{x - 1}}$ C、 $f (x) = [x]$ （ $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数） D、 $f (x) = \frac{2 l n x + 3}{x}$

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上）， $△ P F_{1} F_{2}$ 外接圆的圆心为H， $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的圆心为I，直线PI交x轴于点M，O为坐标原点．则（）

A、存在 $λ \in R$ ，使得 $\vec{O I} = \vec{O P} + λ (\frac{\vec{P F_{1}}}{| \vec{P F_{1}} |} + \frac{\vec{P F_{2}}}{| \vec{P F_{2}} |})$ 成立 B、 $\vec{P H} \cdot \vec{P O}$ 的最小值为 $\frac{a^{2}}{2}$ C、过点I的直线l斜率为 $k_{1}$ ，且与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为N，直线ON的斜率为 $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ D、椭圆C的离心率 $e = \frac{| \vec{I M} |}{| \vec{P I} |}$

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三、填空题

13. 葫芦岛市2021年5月份前十天最高气温（单位：℃）分别为21，19，31，28，34，30，15，22，25，26，则这十天最高气温的第60百分位数为．

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14. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 6 x$ 焦点为F，过F作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线l交抛物线C于A，B两点，则弦 $| A B | =$ ．

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15. 若 ${(x^{2} - \frac{1}{x \sqrt{x}})}^{n}$ 展开式中第5项为常数项，则含 $x^{7}$ 项的系数为（用数字表示）．

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16. 已知函数 $f (x) = 4 e l n x - \frac{x^{2}}{x - e l n x} - e t x$ 存在3零点，则实数t的取值范围是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． $a s i n A - a s i n B = c s i n C - b s i n B$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18. 十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查．

(1)、从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；

(2)、若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数X的分布列和数学期望．

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19. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
① $\vec{B A} \cdot (\vec{P A} + \vec{P D}) = 0$ ；② $P C = \sqrt{7}$ ；③点P在平面ABCD的射影在直线AD上．
如图，平面五边形PABCD中， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形， $A D ∥ B C$ ， $A B = 2 B C = 2$ ， $A B ⊥ B C$ ，将 $△ P A D$ 沿AD翻折成四棱锥 $P - A B C D$ ， E是棱PD上的动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且____．

(1)、求证： $F M ∥$ 平面PAD；

(2)、当EF与平面PAD所成角最大时，求平面ACE与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，首项 $a_{1} = 1$ ，公比 $q > 0$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1} + a_{1}$ ， $S_{3} + a_{3}$ ， $S_{2} + a_{2}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n + 1}^{b_{n}} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{(n + 1) (n + 2)}}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求证： $T_{n} < \frac{1}{4}$ ．

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21. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆 $C_{1}$ 与椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{8} = 1$ 在第一、二、三、四象限分别交于A，B，C，D四点，顺次连接A，B，C，D四点得到一个正方形．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、已知有一定点 $T (2 ， 1)$ ，设过点 $G (3 ， 0)$ 且与x轴不重合的直线l与椭圆 $C_{1}$ 交于不同的两点M，N，直线TM，TN分别与直线 $x = - 3$ 分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为 $y_{p}$ ， $y_{q}$ ，求 $y_{p} + y_{q}$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - a x^{2} + (2 - a) x$ ．（ $a \in R$ ）

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 都有 $f (x) + a (x^{2} + x - x e^{x}) \leq x - 1$ ，求实数a的取值范围．

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