江西省赣州市2022届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $z = 1 - i$ ，则 $\frac{2}{z} - z^{2} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 > 0}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $(C_{R} A) \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 ⩽ x ⩽ 3}$ B、 ${x | x \geq 3}$ C、 ${x | x \leq - 1}$ D、 ${x | x \geq - 1}$

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3. 某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号001，002，…，599，600.从中抽取60个样本，根据提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（   ）
33 21 18 34 29   78 64 56 07 32   52 42 06 44 38   12 23 43 56 77   35 78 90 56 42
84 42 12 53 31   34 57 86 07 36   25 30 07 32 86   23 45 78 89 07   23 68 96 08 04
32 56 78 08 43   67 89 53 55 77   34 89 94 83 75   22 53 55 78 32   45 77 89 23 45

A、457 B、328 C、253 D、072

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4. 曲线 $y = e^{2 x - 2} + x^{2}$ 在 $x = 1$ 处的切线与坐标轴围成的面积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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5. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最大值为（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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6. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{4} + 1}$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. $(2 - \frac{1}{x^{2}}) (1 + a y)^{6}$ 的展开式中，含 $x^{- 2} y^{3}$ 项的系数为160，则 $a =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{6} = 20 ， 2 a_{5} - a_{10} = 22$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot a_{n + 2}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则使 $S_{n}$ 达到最大值的n值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，点 $O_{1} ， O_{2}$ 分别为该圆柱上、下底面的圆心，在该圆柱内随机取一点P，则点P到 $O_{1} ， O_{2}$ 的距离都大于1的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = | s i n x | + c o s | x |$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = k π (k \in Z)$ 对称 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、 $f (x)$ 在区间 $[- π ， π]$ 上有3个零点

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记 ${S_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}^{2}}{a_{n + 1} - a_{n}} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、13 B、14 C、15 D、16

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12. 实数a，b，c满足 $2^{a} + a = 2 ， l n b + b = e ， 3^{c} + c = 3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， k) ， \vec{b} = (k - 2 ， 1)$ ，若 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ .

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14. 某校为了了解全校高中学生五一参加劳动实践活动的情况，随机抽查了100名学生，统计他们假期参加劳动实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图，估计这100名学生参加劳动实践活动的时间的中位数是.

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15. 抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点A，B，C在E上，O是坐标原点，若点F为 $△ A B C$ 的重心， $△ O F A ， △ O F B ， △ O F C$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ .则 ${S_{1}}^{2} + {S_{2}}^{2} + {S_{3}}^{2} =$ .

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16. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 3$ ， $B C = A B = 4$ ，设该阳马的外接球半径为 $R$ ，内切球半径为 $r$ ，则 $\frac{R}{r} =$ ．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足A，B，C成等差数列，且 $c^{2} - b^{2} = a$ .

(1)、求 $c - a$ 的值；

(2)、若 $c o s C = \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就，习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求.为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A、B、C的10人中随机选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关工作.其中部门A、B、C可选派的人数分别为3、3、4.

(1)、求选派的4人中恰有2人来自部门C的概率；

(2)、选派的4人中来自部门A、B、C的人数分别为x，y，z，记 $ξ = m a x {x ， y ， z} - m i n {x ， y ， z}$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.
注： $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b ， \\ b ， a < b ， \end{array}$ $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \leq b ， \\ b ， a > b . \end{array}$

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形，其中 $A B ∥ C D ， C D = 2 A B = 4 ， A D = \sqrt{10} ， A C$ 与 $B D$ 相交于点H，且 $P H ⊥$ 面 $A B C D$ .

(1)、求证：面 $P A C ⊥$ 面 $P B D$ ；

(2)、若 $P H = 2$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形 $A O B$ 的面积 $S = - \frac{1}{2} t a n ∠ A O B$ ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

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21. 函数 $f (x) = m (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + 1) + e^{x} - e x$ （ $m \in R$ 且 $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、当 $m = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，求实数m的取值范围.

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22. 曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = m + \frac{1}{m} \\ y = m - \frac{1}{m} \end{array}$ （m为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ c o s (θ - \frac{π}{3}) = 2$ .

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、已知点 $M (4 ， 0)$ ，若直线l与曲线C交于P，Q两点，求 $\frac{1}{| M P |} + \frac{1}{| M Q |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | 2 x - m | (m \in R)$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $f (x) \leq 2$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq | x + 1 |$ 的解集包含 $[1 ， 2]$ ，求实数m的取值范围.

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