江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0 ， x \in N}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则A，B间的关系为（）

A、A＝B B、B⫋A C、A $\in$ B D、A⫋B

查看试题解析
2. 若复数z＝ $\frac{1}{2 + i^{2021}}$ （ $i$ 为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. $(x + \frac{2}{x^{2}})^{5}$ 的展开式中 $x^{- 1}$ 的系数为（）

A、10 B、20 C、40 D、80

查看试题解析
4. 已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) + \sqrt{3} s i n (α - \frac{π}{6}) = 1$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
5. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $a_{2} a_{4} = 9$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ， $T_{n} > 9$ ，则n的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析
6. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为 $\sqrt{2}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ ＝（）

A、2 B、4 C、6 D、8

查看试题解析
7. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ ( $a_{1} > b_{1} > 0$ )与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1$ ( $a_{2} > 0 ， b_{2} > 0$ )的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{3}$ ， $e_{1} ， e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率，则 $e_{1} e_{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

查看试题解析
8. 已知a＝sin2， $b = 2 - \frac{4}{π}$ ， c＝tan（π－2），则（）

A、a＞b＞c B、a＞c＞b C、c＞a＞b D、c＞b＞a

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法中正确的有（）

A、将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍 B、若一组数据的方差越小，则该组数据越稳定 C、由样本数据点 $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{2} ， y_{2})$ 、 $⋯$ 、 $(x_{n} ， y_{n})$ 所得到的回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过其中的一个点 D、在某项测量中，若测量结果 $ξ ~ N (1 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，则 $P (ξ \leq 1) = 0.5$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x$ (ω>0)，下列说法中正确的有（）

A、若ω=1，则f(x)在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是单调增函数 B、若 $f (\frac{π}{6} + x) = f (\frac{π}{6} - x)$ ，则正整数ω的最小值为2 C、若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得到的图象关于原点对称 D、若f(x)在 $(0 ， π)$ 上有且仅有3个零点，则 $\frac{17}{6} < ω \leq \frac{23}{6}$

查看试题解析
11. 在边长为6的正三角形ABC中M，N分别为边AB，AC上的点，且满足 $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = λ$ ，把△AMN沿着MN翻折至A′MN位置，则下列说法中正确的有（）

A、在翻折过程中，在边A′N上存在点P，满足CP∥平面A′BM B、若 $\frac{1}{2} < λ < 1$ ，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCNM C、若 $λ = \frac{1}{2}$ 且二面角A′－MN－B的大小为120°，则四棱锥A′－BCNM的外接球的表面积为61π D、在翻折过程中，四棱锥A′－BCNM体积的最大值为 $6 \sqrt[]{3}$

查看试题解析
12. 在椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x²＋y²＝a²＋b²上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G．Monge（1745－1818）最新发现．若椭圆C： $\frac{x^{2}}{2}$ ＋y²＝1，则下列说法中正确的有（）

A、椭圆C外切矩形面积的最大值为4 $\sqrt[]{2}$ B、点P（x，y）为蒙日圆Γ上任意一点，点 $M (- 2 \sqrt{3} ， 0) ， N (0 ， 2 \sqrt{3})$ ，当∠PMN最大值时，tan∠PMN＝2＋ $\sqrt[]{3}$ C、过椭圆C的蒙日圆上一点P，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q，若kOP，kOQ存在，则kOP⋅kOQ为定值 $- \frac{1}{2}$ D、若椭圆C的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过椭圆C上一点P和原点作直线l与蒙日圆相交于M，N，且 $P F_{1} · P F_{2} = \frac{3}{2}$ ，则 $P M \cdot P N = \frac{3}{2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 命题“ $\forall x > 0 ， 2^{x} > 1$ ”的否定．

查看试题解析
14. 数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想： $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ 质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F₅不是质数．现设 $a_{n} = l o g_{2} [l o g_{2} (F_{n + 1} - 1)]$ （n∈N^*），bn＝ $\frac{1}{a_{n} (a_{n} + 1)}$ ，则数列{bn}的前21项和为．

查看试题解析
15. 已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 $\frac{x + 2 y + 3}{x y}$ 的最小值为．

查看试题解析
16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $a = \sqrt{3} ， A = \frac{2 π}{3}$ ．若 $m b + n c$ （ $m > 0 ， n > 0$ ）有最大值，则 $\frac{n}{m}$ 的取值范围是．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}的公差d≠0，a₁＝2．若a₃ ， a₆ ， a₁₂分别是数列{bn}的前3项．

(1)、求数列{bn}的公比q；

(2)、求数列{anbn}的前n项和Tn．

查看试题解析
18. 为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（ $2021 - 2025$ ）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为 $(50 ， 60]$ 、 $(60 ， 70]$ 、 $(70 ， 80]$ 、 $(80 ， 90]$ 、 $(90 ， 100]$ ，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成公比为2的等比数列．

(1)、若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，用 $X$ 表示得分高于90分的人数，求 $X$ 的分布列及期望；

(2)、若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间 $(70 ， 80]$ 内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间 $(80 ， 90]$ 的概率．

查看试题解析
19. 在①b²＋c²－a²＝ $\frac{4}{3} \sqrt[]{3} \cdot S$ ， ②asinB＝bsin（A＋ $\frac{π}{3}$ ），③ $2 a = \frac{b c o s C + c c o s B}{c o s A}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，△ABC的面积为S，____．

(1)、求角A；

(2)、若AC＝2，BC＝ $\sqrt[]{7}$ ，点D在线段AB上，且△ACD与△BCD的面积比为4∶5，求CD的长．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）

查看试题解析
20. 如图，在三棱台ABC－A₁B₁C₁中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC₁B₁为等腰梯形，且B₁C₁＝CC₁＝4，M为B₁C₁中点．

(1)、证明：平面ABC⊥平面AOM；

(2)、记二面角A－BC－B₁的大小为θ，当θ∈[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ]时，求直线BB₁平面AA₁C₁C所成角的正弦的最大值．

查看试题解析
21. 已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、过点P（1，1）作两条动直线l₁ ， l₂分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x c o s x - s i n x - e^{- 2}$ ， x∈[0，π]．

(1)、求f(x)的最大值，并证明： $e^{x} s i n x + e^{x - 2} > x e^{x} c o s x + x - 1$ ；

(2)、若 $f (x) + 2 a x^{3} + e^{- 2} ⩾ 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

查看试题解析