江苏省泰州市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， B = {x ∣ 2^{x} > 1}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(- 1 ， 0]$ D、 $(- 1 ， 3]$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $| z | + z = 8 + 4 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 + 4 i$ B、 $3 - 4 i$ C、 $- 3 + 4 i$ D、 $- 3 - 4 i$

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $α$ 的终边上有一点 $P (- 3 ， 4)$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $- \frac{7}{24}$ C、 $\frac{24}{7}$ D、 $- \frac{24}{7}$

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4. 在 $(x^{2} + 2) {(\frac{1}{x} + 1)}^{8}$ 的展开式中，常数项为（）

A、27 B、28 C、29 D、30

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的准线为 $l ， l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，过点 $A$ 作抛物线的一条切线，切点为 $B$ ，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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6. “双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布 $N (600 ， 10000)$ ，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（）（参考数据： $P (| X - μ | < σ) = 0.683 ， P (| X - μ | < 2 σ) = 0.954 ， P (| X - μ | < 3 σ) = 0.997$ ）

A、16 B、18 C、20 D、25

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7. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ .当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 3^{x} + a$ 则 $f (2021) + f (2022) =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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8. 已知 $2^{a} = \sqrt{3} ， 5^{b} = 2 \sqrt{2} ， c = \frac{4}{5}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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二、多选题

9. 对于函数 $f (x) = s i n x + c o s x$ ，下列说法正确的有（）

A、 $2 π$ 是一个周期 B、关于 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 C、在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、在 $[\frac{π}{4} ， π]$ 上递增

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10. 在平行四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B} ， \vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ ，则（）

A、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{B D}$ B、 $\vec{A D} + \vec{C D} + \vec{B E} = \vec{0}$ C、 $\vec{A C} + 2 \vec{D F} + 2 \vec{B E} = \vec{0}$ D、若 $A C ⊥ B F ， \vec{A B} \cdot \vec{A D} = {\vec{B C}}^{2} - 2 {\vec{C D}}^{2}$

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11. 已知首项为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，曲线 $C_{n} ： a_{n} x^{2} + a_{n + 1} y^{2} = 1$ ，则下列叙述正确的有（）

A、 $q = 1 ， C_{n}$ 为圆 B、 $q = - 1 ， C_{n}$ 离心率为2 C、 $q > 1 ， C_{n}$ 离心率为 $\sqrt{1 - \frac{1}{q}}$ D、 $q < 0 ， C_{n}$ 为共渐近线的双曲线

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12. 如图，两个底面为矩形的四棱锥 $S - A B C D$ 、 $S_{1} - A B C D$ 组合成一个新的多面体 $Γ$ ，其中 $△ S A D$ 、 $△ S_{1} B C$ 为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形.平面 $α / /$ 平面 $S A D$ ，平面 $α$ 截多面体 $Γ$ 所得截面多边形的周长为 $L$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $S B ⊥ B C$ B、 $S C ⊥ A B$ C、多面体 $Γ$ 有外接球 D、 $L$ 为定值

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三、填空题

13. 写出一个公差不为零，且满足 $a_{1} + a_{2} - a_{3} = 1$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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14. 若直线 $x - a y + 2 a = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为2，则实数 $a$ 的值为.

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15. 若函数 $f (x) = c o s 2 x + a c o s x$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. $△ A B C$ 的三条边分别为 $a ， b ， c$ ，若该三角形绕着三条边 $a ， b ， c$ 旋转一周所得几何体的体积分别为 $V_{a} ， V_{b} ， V_{c}$ .若 $V_{a} = \frac{1}{4} ， V_{b} = \frac{1}{3} ， V_{c} = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s A$ 的值为；若 $∠ B A C = \frac{π}{6}$ ， $V_{b} V_{c} = 1$ ，则 $V_{b}^{2} + V_{c}^{2} - \frac{1}{V_{a}^{2}}$ 的值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a s i n 2 B - \sqrt{3} b s i n A = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、给出三个条件：① $b = \sqrt{3}$ ；② $a + c = 3 + \sqrt{3}$ ；③ $c s i n C = s i n A$ ，试从中选出两个条件，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{n} > 0 ， 2 \sqrt{S_{n}} = a_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot 2^{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 2 ， P B = B C = 4 ， P A = P C = A C = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、点 $D$ 是棱 $B C$ 上一点， $\vec{B D} = λ \vec{B C}$ ，且二面角 $B - P A - D$ 与二面角 $C - P A - D$ 的大小相等，求实数 $λ$ 的值.

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20. 一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯I和II.电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯I先运行.设电梯在每一层运行时间为a.现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量 $X$ .

(1)、求 $P (X = 0)$ ：

(2)、为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯.求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ 的两个顶点坐标为 $B (- 2 ， 0) ， C (2 ， 0)$ ，直线 $A B ， A C$ 的斜率乘积为 $\frac{1}{4}$ .

(1)、求顶点 $A$ 的轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、过点 $P (1 ， 0)$ 的直线与曲线 $Γ$ 交于点 $M ， N$ ，直线 $B M ， C N$ 相交于点 $Q$ ，求证： $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - s i n x ， e$ 为自然对数的底数

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 1 - x - s i n x$ ，求实数 $a$ 的最大值；

(3)、证明：当 $a < \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取极小值.

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