江苏省苏北四市（徐州、淮安、宿迁、连云港）2021-2022学年高三上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 < x < 4}$ ，集合 $B = {x | 0 < x < 2}$ ，则集合 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $[2 ， 4)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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3. 不等式 $x - \frac{1}{x} > 0$ 成立的一个充分条件是（）

A、 $x < - 1$ B、 $x > - 1$ C、 $- 1 < x < 0$ D、 $0 < x < 1$

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4. 某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（）

A、12种 B、24种 C、72种 D、120种

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5. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1) ， \vec{b} = (2 ， y) ， \vec{c} = (1 ， - 2)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{c}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 已知拋物线 $C_{1} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 为椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，且 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦经过 $F$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 $3 0^{∘}$ ，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 $M$ ， $N$ 到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（）

A、15π B、36π C、45π D、48π

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8. 记 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，记 $a_{n} = [l o g_{8} n]$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2022} a_{i}$ 的值为（）

A、5479 B、5485 C、5475 D、5482

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二、多选题

9. 已知 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中共有7项，则（）

A、所有项的二项式系数和为64 B、所有项的系数和为1 C、二项式系数最大的项为第4项 D、有理项共4项

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10. 将函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到 $y = g (x)$ 的图象如图，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、方程 $f (x) = 1$ 在 $(0 ， 2 π)$ 内有4个实数根 D、 $f (x)$ 的解析式可以是 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若对于曲线 $y = f (x)$ 上的任意点 $P$ ，都存在曲线 $y = f (x)$ 上的点 $Q$ ，使得 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 0$ 成立，则称函数 $f (x)$ 具备“ $\otimes$ 性质”.则下列函数具备“ $\otimes$ 性质”的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = c o s^{2} x$ C、 $y = \frac{l n x}{x}$ D、 $y = e^{x} - 2$

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12. 如图，一张长､宽分别为 $\sqrt{2} ， 1$ 的矩形纸， $A ， B$ ， $C ， D$ 分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， P_{4}$ 四点重合为一点 $P$ ，从而得到一个多面体，则（）

A、在该多面体中， $B D = \sqrt{2}$ B、该多面体是三棱锥 C、在该多面体中，平面 $B A D ⊥$ 平面 $B C D$ D、该多面体的体积为 $\frac{1}{12}$

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三、填空题

13. 已知直线 $l ： x + y - m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为原点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2$ ，则实数 $m$ 的值为.

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14. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则 $f (\frac{7}{2})$ 的值为.

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15. 已知 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ 则 $t a n (α - \frac{π}{12}) =$ .

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16. 已知一个棱长为 $a$ 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则 $a$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 在① $b c o s (\frac{π}{2} - C) = \sqrt{3} c c o s B$ ；② $2 S_{△ A B C} = \sqrt{3} \vec{B A} \cdot \vec{B C}$ ；③ $t a n A + t a n C + \sqrt{3} =$ $\sqrt{3} t a n A t a n C$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且____.

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且 $c = 4$ ，求 $a$ 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3 ， a_{2} = 15 ， a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = 10 - l o g_{2} (a_{n} + 1)$ ，求数列 ${| c_{n} |}$ 的前20项和 $T_{20}$ .

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} ， A_{1} B ⊥ B_{1} C$ .

(1)、证明： $A B ⊥ A C$ ；

(2)、设 $\vec{B M} = λ \vec{B B_{1}}$ ，若二面角 $A_{1} - M C - C_{1}$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，求 $λ$ .

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20. 为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.
参考数据： $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ .

(1)、指标数不在17.5和22.5之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；

(2)、技术评估可以认为，这种产品的质量指标数 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， 1.2 2^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算 $μ$ 值，并计算产品指标数落在 $(17.56 ， 22.44)$ 内的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = a x + \frac{2}{x} - 5$ .

(1)、证明： $f (x) < \sqrt{x}$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与 $g (x)$ 的图象有两个不同的公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的虚轴长为4，且经过点 $(\frac{5}{4} ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、双曲线 $C$ 的左､右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，过左顶点 $A_{1}$ 作实轴的垂线交一条渐近线 $l ： y = - \frac{b}{a} x$ 于点 $T$ ，过 $T$ 作直线分别交双曲线左､右两支于 $P ， Q$ 两点，直线 $A_{2} P ， A_{2} Q$ 分别交 $l$ 于 $M ， N$ 两点.证明：四边形 $A_{1} M A_{2} N$ 为平行四边形.

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