江苏省南通市通州区2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 ${(\frac{1 - i}{1 + i})}^{2022} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、-1

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2. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 2}{x + 1} \geq 0} ， B = {x | (\frac{1}{2})^{x} \geq 1}$ ，则( $∁$ RA)∩B＝（）

A、[0，2) B、[－1，0) C、[－1，0] D、(－∞，－1)

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3. 若二项式 $(\sqrt{x} - \frac{a}{\sqrt{x}})^{6}$ 的展开式中常数项为160，则a的值为（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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4. 甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（）

A、第二名、第三名的总分之和为29分或31分 B、第二名的总分可能超过18分 C、第三名的总分共有3种情形 D、第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名

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5. 梅森素数是指形如2p－1的素数，其中p也是素数(质数)，如2⁷－1＝127是梅森素数，2¹¹－1＝23×89不是梅森素数.长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”.在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为（）

A、 $\frac{13}{28}$ B、 $\frac{1}{28}$ C、 $\frac{9}{14}$ D、 $\frac{3}{7}$

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6. 已知a＝log_0.20.02，b＝log₆60，c＝ln6，则（）

A、c＜b＜a B、b＜a＜c C、c＜a＜b D、a＜c＜b

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7. 在正三棱锥P－ABC中，D是棱PC上的点，且PD＝2DC.设PB，PC与平面ABD所成的角分别为α，β，则sinα：sinβ＝（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log₂x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(2¹⁰＋1)＝（）

A、4097 B、4107 C、5119 D、5129

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二、多选题

9. 下列命题中，正确的是（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则事件 $A$ 与事件 $B$ 独立 B、已知随机变量 $X$ 的方差为 $V (X)$ ，则 $V (2 X - 3) = 4 V (X)$ C、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n ， \frac{1}{3})$ ，若 $E (3 X + 1) = 6$ ，则 $n = 5$ D、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (X < 3) = 0.6$ ，则 $P (- 1 < X < 1) = 0.2$

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10. 已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上的两点，满足 $\vec{B C} = \vec{O A}$ ，则（）

A、直线BC的斜率为 $\frac{3}{4}$ B、∠AOC＝60° C、△ABC的面积为 $25 \sqrt{3}$ D、B、C两点在同一象限

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (\frac{3}{2} x + φ)$ (A＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{π}{4}$ B、 $f (x - \frac{π}{6})$ 是偶函数 C、当 $x \in [- π ， - \frac{π}{3}]$ 时，f(x)的最大值为1 D、若 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = 2 (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $| x_{1} + x_{2} |$ 的最小值为π

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12. 已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝ $\frac{l n x}{k}$ ，其中k≠0，则（）

A、若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上 B、当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{e}$ C、当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于 $\frac{5}{2}$ D、当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点

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三、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $\vec{c} = \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ ＝.

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14. 若 $1 + \frac{\sqrt{3}}{t a n 8 0^{∘}} = \frac{1}{s i n α}$ ，则α的一个可能角度值为.

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点与抛物线C′：x²＝2py(p＞0)的焦点F重合，P为C与C′的一个公共点.若C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且|PF|＝2，则p＝.

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16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A′－BD－C，设三棱锥A′－BDC的外接球和内切球的半径分别为r₁ ， r₂ ，球心分别为O₁ ， O₂.若正方形ABCD的边长为1，则 $\frac{r_{2}}{r_{1}} =$ ；O₁O₂＝.

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四、解答题

17. 从以下3个条件中选择2个条件进行解答.①BA＝3；②BC＝ $\sqrt{7}$ ；③∠A＝60°.在△ABC中，已知_______，D是AC边的中点，且BD＝ $\sqrt{7}$ ，求AC的长及△ABC的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1}$ ＝2，2( $S_{n} + S_{n + 1}$ )＝6－ $a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n}$ 的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.

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19. 如图，C，D分别是以AB为直径的半圆O上的点，满足 $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{D A}$ ， △PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90°，E为PA的中点.

(1)、求证：DE//平面PBC；

(2)、求二面角A－BE－D的余弦值.

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20. 当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争.特别是进入人工智能时代后，谁掌握了核心科学技术，谁就能对竞争对手进行降维打击.我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科学研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利.
参考数据：设z＝ $\frac{1}{x}$ ， zi＝ $\frac{1}{x_{i}}$ ， $\bar{z}$ ＝0.37， $\bar{y}$ ＝50， $\sum_{i = 1}^{7} z_{i} y_{i}$ ＝184.5， $\sum_{i = 1}^{7} {z_{i}}^{2}$ －7 $\bar{z}$ ²＝0.55；
参考公式：对于一组数据(u₁ ， v₁)，(u₂ ， v₂)，…，(un，vn)，其回归直线 $\hat{v}$ ＝ $\hat{β}$ u＋ $\hat{α}$ 中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为 $\hat{β}$ ＝ $\frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} {u_{i}}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α}$ ＝ $\bar{v}$ － $\hat{β}$ $\bar{u}$ .

(1)、在研发过程中，对研发时间x(月)和产品的厚度y(nm)进行统计，其中1~7月的数据资料如下：
x(月)
1
2
3
4
5
6
7
y(nm)
99
99
45
32
30
24
21
现用 $\hat{y} = \hat{a} + \frac{\hat{b}}{x}$ 作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少?

(2)、某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：
①直接售卖，则每条生产线可卖5万元；
②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元.请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学? 并说明理由.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，直线l交C于A，B两点.

(1)、若线段AB的中点为 $(- 1 ， 3)$ ，求l的方程；

(2)、若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，且O到l的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求C的方程.

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22. 已知函数f(x)＝sinx＋tanx－ax²－2x.

(1)、当a＝0时，判断并证明f(x)在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上的单调性；

(2)、当x∈(0， $\frac{π}{2}$ )时，f(x)＞0，求a的取值范围.

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x(月)	1	2	3	4	5	6	7
y(nm)	99	99	45	32	30	24	21