江苏省南通市如东县2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} (x - 1) < 0} ， B = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}$ ，则（）

A、A∩B＝A B、A∩B＝B C、 $(∁_{R} A) ∩ B = B$ D、 $A ∩ (∁_{R} B) = A$

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2. 已知复数z满足 $z i^{2021} = 4 i^{2022} - 3 i^{2023}$ ，则z＝（）

A、4＋3i B、4－3i C、3＋4i D、3－4i

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3. 我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 已知A，B是圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 19 = 0$ 的一条直径上的两个端点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ （）

A、0 B、19 C、 $\sqrt{19}$ D、1

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5. 某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）

A、20m B、10m C、 $10 \sqrt{3}$ m D、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ m

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6. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ ，则不等式f(x)＋f(2x－1)＞0的解集是（）

A、(1，＋∞） B、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ D、(－∞，1)

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， P为椭圆上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $F_{1}$ 关于 $∠ F_{1} P F_{2}$ 平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知三棱锥P－ABC的外接球半径为4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，则三棱锥P－ABC体积的最大值是（）

A、 $18 \sqrt{3}$ B、 $54 \sqrt{3}$ C、24π D、 $\frac{16 \sqrt{3} + 24}{3}$

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9. 正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因为这种信号的波形是数学上的正弦函数而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号获得广泛应用.已知某个信号的波形可以表示为f(x)＝sinx＋sin2x＋sin3x.则（）

A、f(x)的最大值为3 B、π是f(x)的一个周期 C、f(x)的图像关于(π，0)对称 D、f(x)在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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二、多选题

10. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）

A、若m//n，n⊂α，则m//α B、若m⊥n，n⊂α，则m⊥α C、若m⊥α，n⊥α，则m//n D、若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n

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11. 记椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与椭圆 $C_{2} ： \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ 内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上任意一点，则（）

A、椭圆C₁与椭圆C₂的离心率相等 B、曲线C关于y＝±x对称 C、P到点(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)的距离之和为定值 D、P到原点的距离的最大值为 $\frac{2 \sqrt{42}}{7}$

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12. 若不相等正数a，b，满足aa＝bb，则（）

A、a＞1 B、b＜1 C、 $a + b > \frac{2}{e}$ D、 $(\frac{n + 1}{n})^{\frac{n + 1}{n}} > (\frac{n + 2}{n + 1})^{\frac{n + 2}{n + 1}} (n \in N^{*})$

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三、填空题

13. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{3}{x})}^{n}$ 的展开式中第3项为常数项，则这个展开式中各项系数之和为.

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14. 写出一个满足tan20°＋4cosθ＝ $\sqrt{3}$ 的θ＝.

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15. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - t ， x \geq 0 ， \\ - x^{2} - 4 x - t ， x < 0 \end{array}$ 有三个零点x₁ ， x₂ ， x₃ ，且x₁＜x₂＜x₃ ，则x₁x₂x₃的取值范围是.

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16. 已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，AC₁⊥平面α，当平面α过点B₁时，平面α截此正方体所得截面多边形的面积为；当平面α过线段BC中点时，平面α截此正方体所得截面多边形的周长为.

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四、解答题

17. 在① $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B}$ ；② $\frac{a^{2}}{t a n A} = \frac{b^{2}}{t a n B}$ ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，____.

(1)、判断△ABC的形状；

(2)、在（1）的条件下，若 $c o s A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.

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18. 已知数列{an}的各项均为正数，其前n页和为Sn，且a₁＝2， $l o g_{2} a_{n + 1} = l o g_{2} (a_{n} + 1) + 1$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 2}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${\frac{2^{n + 2} - 2}{S_{n} S_{n + 1}}}$ 的前n项和.

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19. 大气污染物PM2.5(大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物)的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究PM2.5的浓度受汽车流量影响的程度，某校数学建模社团选择了学校附近5个监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的PM2.5的平均浓度(单位：μg/m³)，得到的数据如下表所示：
监测点编号
1
2
3
4
5
汽车流量
1.3
1.2
1.6
1.0
0.9
PM2.5浓度
66
72
113
34
35
参考公式： $\hat{b}$ ＝ $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ＝ $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a}$ ＝ $\bar{y}$ － $\hat{b}$ $\bar{x}$ .
根据以上信息，完成下列问题：

(1)、建立PM2.5的浓度关于汽车流量的一元线性回归模型；

(2)、我国规定空气中PM2.5的浓度安全标准为24h平均浓度为75μg/m³ ，该地为使PM2.5 24h平均浓度不超过68.6，拟对汽车流量作适当控制，请你根据本题数据估计汽车流量控制的最大值；

(3)、从5个监测点中抽取3个，记PM2.5平均浓度不超过68.6的个数为X，求X的分布列和数学期望.

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20. 在四棱锥A－BCDE中，直线AB⊥平面BCDE，底面BCDE是梯形，BC//DE，BC⊥CD，CD＝DE＝ $\frac{1}{2}$ BC＝2，F是边BC的中点.

(1)、证明：AE⊥CE；

(2)、若平面ADF与平面ABE所成二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.

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21. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为F₁(－c，0)，F₂(c，0)，离心率为e，且点(e，3)，( $\sqrt{2}$ ， b)都在双曲线C上.

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF₁//BF₂.证明： $\frac{1}{A F_{1}} + \frac{1}{B F_{2}}$ 为定值.

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22. 已知函数f(x)＝ex(x－lnx)＋mx(m∈R).

(1)、若m＝0，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；

(2)、若f(x)≥0，求m的取值范围.

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监测点编号	1	2	3	4	5
汽车流量	1.3	1.2	1.6	1.0	0.9
PM2.5浓度	66	72	113	34	35