湖南省常德市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 2 < x < 4}$ ， $B = {x | x = 2 k - 1 ， k \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{1，3} B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 3}$

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2. 已知复数z满足： $z (1 + i) = i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{i}{2}$

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3. 若 $t a n α = \frac{1}{5}$ ，则cos2α的值为（）

A、 $- \frac{12}{13}$ B、 $- \frac{1}{26}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $\frac{25}{26}$

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4. 在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． $R_{0}$ 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于 $R_{0} > 1$ ，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数 $R_{0} = 3$ ，平均感染周期为7天（初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，经过一个周期后这 $R_{0}$ 个人每人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据： $3^{6} = 729$ ， $4^{5} = 1024$ ）（）

A、35 B、42 C、49 D、56

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5. 根据如下样本数据得到的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b} = - 1.4$ ，根据此方程预测当 $x = 10$ 时，y的取值为（）
x
3
4
5
6
7
8
9
y
4.0
2.5
0.5
-1
-2.0
-3.0
-4.5

A、-6.0 B、-6.1 C、-6.2 D、-6.4

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（）

A、若 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ ，则函数f(x)的值域为 $[- 1 ， \frac{1}{2}]$ B、点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 是函数f（x）图象的一个对称中心 C、函数f（x）在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上是增函数 D、函数f（x）的图象可以由函数 $y = c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到

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7. 若函数 $g (x)$ 为定义在R上的奇函数， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，当 $x \geq 0$ 时， $g^{'} (x) > 2 x$ ，则不等式 $g (x) > x^{2}$ 的解集为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、（0，2） D、 $(0 ， + ∞)$

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， O为坐标原点，P为双曲线右支上且位于第一象限内的一点，直线PO交双曲线C的左支于点A，直线 $P F_{2}$ 交双曲线C的右支于另一点B， $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ， $∠ A F_{2} B = \frac{π}{3}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、2

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二、多选题

9. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则（）

A、 $a b \leq 4$ B、 $a + b \geq 4$ C、 $2^{a} + 2^{b} \leq 8$ D、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b \geq 2$

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10. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（）

A、中位数为3，众数为5 B、中位数为3，极差为3 C、中位数为1，平均数为2 D、平均数为3，方差为2

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P，Q分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，M为线段BD上的动点，则（）

A、 $P Q ∥ B C$ B、 $P Q ⊥ B_{1} M$ C、三棱锥 $P - Q M B_{1}$ 的体积为定值 D、M为BD的中点时，则二面角 $M - P Q - B_{1}$ 的平面角为60°

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $1$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，则（）

A、抛物线 $C$ 的准线方程为 $x = 1$ B、线段 $A B$ 的中点在直线 $y = 2$ 上 C、若 $| A B | = 8$ ，则 $△ O A B$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ D、以线段 $A F$ 为直径的圆一定与 $y$ 轴相切

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三、填空题

13. 曲线 $y = (x + 1) e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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14. 已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的一条直径，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} =$ ．

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15. $(2 + x^{2}) {(1 - \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中的常数项是．

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16. 已知正三棱锥 $A - B C D$ 的底面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，其内切球的表面积为 $π$ ，且和各侧面分别相切于点 $F$ 、 $M$ 、 $N$ 三点，则 $△ F M N$ 的周长为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = (n + 1) (a_{n} - n) (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， 1 \leq n \leq 10 \\ \frac{4}{a_{n} a_{n - 1}} ， n \geq 11 \end{array}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前20项的和 $T_{20}$ ．

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18. 如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线．

(1)、求证：OA⊥PB；

(2)、若C底面圆上一点，且 $A C ∥ O B$ ， $A B = 2$ ， $O P = 2$ ， $∠ O A B = 45 °$ ，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．

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19. 设a，b，c分别是 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边， $(\sin B - \sin C) b = (a - c) (\sin A + \sin C)$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值．

②设点D为BC边上的中点，且 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，椭圆C的左、右顶点分别为A、B，直线l： $x = t y + 1$ 经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆交于M，N两点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线BM，AN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{2} = λ k_{1}$ ，求证：λ为定值．

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21. 已知某箱中装有10件产品，其中合格品8件，次品2件．现进行产品质量检测，从中任取一件产品进行检测视为1次质量检测（如果取到合格品，则把它放回箱中；如果取到次品，则不放回箱中且另补放一件合格品到箱中）．在重复n次这样的质量检测后，记箱中的次品件数为 $X_{n}$ ．

(1)、求 $X_{2}$ 的分布列及数学期望 $E (X_{2})$ ；

(2)、设 $p_{n}$ 表示“n次操作后箱中的次品件数为1”的概率，求 $p_{3}$ ，并用 $p_{n}$ 表示 $p_{n + 1}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{2}{x} - a l n x (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1} \in (1 ， e]$ （ $e$ 为自然对数底数，且 $e = 2.71828 ⋯$ ），求 $f (x_{1}) - f (x_{2})$ 的取值范围．

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x	3	4	5	6	7	8	9
y	4.0	2.5	0.5	-1	-2.0	-3.0	-4.5