湖北省武汉市武昌区2021-2022学年高三上学期数学1月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-09-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \geq 9 ， x \in R}$ ， $B = {0 ， 1 ， e ， π}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， e}$ B、 ${0 ， 1 ， e ， π}$ C、 ${0 ， 1 ， π}$ D、 ${1 ， e ， π}$

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2. 已知复数 $z = 1 - i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{2 - i} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$

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3. 小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（）

A、0.954 B、0.956 C、0.958 D、0.959

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4. 已知函数 $y = g (x)$ 的图象与函数 $y = s i n 2 x$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称，将 $g (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则函数 $y = f (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时的值域为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $[- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ D、 $[0 ， 1]$

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5. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（）

A、8π B、16π C、 $8 \sqrt{2} π$ D、 $4 \sqrt{2} π$

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6. 已知正数x，y满足 $x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = 5$ ，则 $x + y$ 的最小值与最大值的和为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，对任意的 $n \in N^{*}$ ，均有 $S_{6} \leq S_{n}$ 成立，则 $\frac{a_{10}}{a_{7}}$ 不可能的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 已知实数a，b满足 $a = l o g_{2} 3 + l o g_{8} 6$ ， $6^{a} + 8^{a} = 1 0^{b}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $a > 2 > b$ B、 $b > 2 > a$ C、 $a > b > 2$ D、 $b > a > 2$

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二、多选题

9. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，下列对双曲线C的判断正确的是（）

A、实轴长是虚轴长的2倍 B、焦距为8 C、离心率为 $\sqrt{3}$ D、渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$

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10. 为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”、“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：
日期
项目
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
党员先锋
24
27
26
25
37
76
72
邻里互助
11
13
11
11
127
132
143
对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（）

A、“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25 B、“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64 C、用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为 $\frac{4}{7}$ D、用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为 $\frac{1}{3}$

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11. 已知直线 $l$ ： $y = k (x - \frac{p}{2})$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于A，B两点，点A在x轴上方，点 $M (- 1 ， - 1)$ 是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）

A、 $p = 2$ B、 $k = - 2$ C、 $M F ⊥ A B$ D、 $\frac{| F A |}{| F B |} = \frac{2}{5}$

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12. 已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的菱形，B，C分别为AE，FD的中点， $B D = 2 \sqrt{2}$ ，则在该四面体中（）

A、 $B E ⊥ C D$ B、BE与平面DCE所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{210}}{15}$ C、四面体ABCD的内切球半径为 $\frac{\sqrt{105}}{30}$ D、四面体ABCD的外接球表面积为 $9 π$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = (e^{x} + a e^{- x}) l n (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 是偶函数，则 $a =$ ．

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14. ${(1 + x + x^{2})}^{6}$ 展开式中 $x^{4}$ 的系数为．

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15. 函数 $f (x) = | 2 e^{x} - 1 | - 2 x$ 的最小值为．

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16. 已知圆O的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ， P是圆C： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 16$ 上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 武汉热干面既是中国四大名面之一，也是湖北武汉最出名的小吃之一．某热干面店铺连续10天的销售情况如下（单位：份）：
天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
套餐一
120
100
140
140
120
70
150
120
110
130
套餐二
80
90
90
60
50
90
70
80
90
100
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、分别求套餐一、套餐二的均值、方差，并判断两种套餐销售的稳定情况；

(2)、假定在连续10天中每位顾客只购买了一份，根据图表内容填写下列 $2 \times 2$ 列联表，并据此判断能否有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关？
顾客套餐
套餐一
套餐二
合计
男顾客
400
女顾客
500
合计

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $c = \sqrt{3} a s i n C - c c o s A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b + c = \sqrt{19}$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ．

(1)、求证： ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求使得不等式 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{m}{a_{m}} \leq \frac{15}{4}$ 成立的最大正整数m．

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20. 如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．

(1)、求证： $E F ⊥ A D$ ；

(2)、若二面角 $A - E F - D$ 的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为 $\frac{1}{3}$ ？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A$ 、 $B$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两个实轴顶点，点 $P$ 是双曲线上异于 $A$ 、 $B$ 的任意一点，直线 $P A$ 交 $E$ 于 $M$ ，直线 $P B$ 交 $E$ 于 $N$ ，证明：直线 $M N$ 的倾斜角为定值．

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22. 已知 $f (x) = e^{x} - a \cdot \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，分别求 $n = 1$ 和 $n = 2$ 的 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求证：当 $a = 1$ 时， $f (x) = 0$ 有唯一实数解 $x = 0$ ；

(3)、若对任意的 $x \geq 0$ ， $n \in N^{*}$ 都有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求a的取值范围．

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天数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
套餐一	120	100	140	140	120	70	150	120	110	130
套餐二	80	90	90	60	50	90	70	80	90	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

顾客套餐	套餐一	套餐二	合计
男顾客	400
女顾客		500
合计