湖北省武汉市江岸区2021-2022学年高三上学期数学元月期末试卷

试卷更新日期：2022-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x < 4}$ ， $B = {x \in Z | 0 < x < 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 4}$ B、 ${x | - 1 < x < 5}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知 $(1 - 2 i) \bar{z} = 4 - 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $10 + i$ B、 $2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + 5 i$

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3. 如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）

A、 $12 + 3 \sqrt{3}$ B、 $12 + 4 \sqrt{3}$ C、 $6 + 3 \sqrt{3}$ D、 $6 + 4 \sqrt{3}$

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4. 下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，其在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = | s i n x |$ B、 $y = s i n | x |$ C、 $y = c o s 2 x$ D、 $y = s i n 2 x$

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5. “ $s i n α = \frac{1}{2}$ ”是“ $s i n α = \frac{\sqrt{3}}{3} c o s α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 计算 $t a n 70 ° c o s 10 ° (\sqrt{3} t a n 20 ° - 1) =$ （）

A、1 B、﹣1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. $\forall x > 0$ 满足 $e^{x} - 1 > a x$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $a < 1$ B、 $0 < a < 1$ C、 $0 < a \leq 1$ D、 $a \leq 1$

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8. 在 $n (n \in N^{*})$ 次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为 $\frac{2}{5}$ ，则事件A，B，C发生次数的方差之比为（）

A、5：5：4 B、4：4：3 C、3：3：2 D、2：2：1

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9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为e，下列说法正确的是（）

A、当 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得 $△ F_{1} F_{2} P$ 为直角三角形 B、当 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得 $△ F_{1} F_{2} P$ 为等腰三角形 C、当 $e = \frac{1}{2}$ 时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得 $△ F_{1} F_{2} P$ 为直角三角形 D、当 $e = \frac{1}{2}$ 时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得 $△ F_{1} F_{2} P$ 为等腰三角形

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二、多选题

10. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现在统计了该平台从2013年到2021年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成年份序号x（2013年作为第一年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法正确的是（）

A、销售额y与年份序号x正相关 B、销售额y与年份序号x线性关系不显著 C、三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果 D、根据三次函数回归曲线可以预测2022年“年货节”期间的销售额约为2680.54亿元

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11. 若 $A_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ 是 $△ A O B$ 所在的平面内的点，且 $\vec{O A_{i}} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 下面给出的四个命题中，其中正确的是（）

A、 $| \vec{O A_{1}} | + | \vec{O A_{2}} | + ⋯ + | \vec{O A_{n}} | = | \vec{O A} |$ B、 $\vec{A A_{i}} \cdot \vec{O B} = 0$ C、点 $A$ ､ $A_{1}$ ､ $A_{2}$ … $A_{n}$ 一定在一条直线上 D、 $\vec{O A}$ ､ $\vec{O A_{i}}$ 在向量 $\vec{O B}$ 方向上的投影一定相等

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，且 $\vec{D P} = λ \vec{D B_{1}}$ （ $0 < λ < 1$ ），过P作垂直于平面 $B D D B_{1}$ 的直线l，分别交正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面于M，N两点，下列说法正确的是（）

A、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $D M B_{1} N$ B、四边形 $D M B_{1} N$ 的面积的最大值为 $2 \sqrt{6}$ C、若四边形 $D M B_{1} N$ 的面积为 $\sqrt{6}$ ，则 $λ = \frac{1}{4}$ D、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则四棱锥 $B - D M B_{1} N$ 的体积为 $\frac{8}{3}$

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三、填空题

13. 函数 $g (x) = \frac{k - 2^{x}}{1 + k \cdot 2^{x}} (k < 0)$ 为奇函数，则实数k的取值为.

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14. 一个盒子内装有形状大小完全相同的5个小球，其中3个红球2个白球.如果不放回依次抽取3个球，则在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率为.

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15. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，直线 $y = \frac{4}{3} x$ 与双曲线相交于A，B两点，若 $A F ⊥ B F$ ，则双曲线C的离心率为.

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16. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 3 ， \frac{n}{3} \notin N^{*} \\ a_{n - 1} ， \frac{n}{3} \in N^{*} \end{array}$ ，使 $a_{n} < 2022$ 对任意的 $n \leq k (k \in N^{*})$ 恒成立的最大k值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 $2 a c o s C - b c o s C = c c o s B$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $a + b = 2$ ，求c的取值范围.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，且满足 $\frac{a_{n + 1}}{n (a_{n + 2} - a_{n + 1})} = \frac{a_{n}}{(n + 1) (a_{n + 1} - a_{n})} + \frac{1}{2 n (n + 1)}$ $(n \in N^{*})$ .

(1)、设 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{a_{n + 1} - a_{n}} (n \in N^{*})$ ，证明： ${b_{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${n c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 为等腰直角三角形， $P A = P C$ ， $A C = 2$ ， $△ A B C$ 为正三角形，D为AC的中点..

(1)、证明：平面 $P D B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的平面角为锐角，且三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值.

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20. 5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组： $[40 ， 50)$ ､ $[50 ， 60)$ ､ $[60 ， 70)$ ､…， $[90 ， 100]$ ，统计结果如图所示：

(1)、由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ$ 近似为样本的标准差s，并已求得 $s = 14.31$ .若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间 $(41.88 ， 84.81]$ 的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；

(2)、该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为 $\frac{1}{3}$ .每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，即 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < Z \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ .

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切.

(1)、求 $p$ ；

(2)、若定点 $A (4 ， 2)$ ， $B (- 4 ， 0)$ ， M是抛物线上的一个动点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为 $M_{1}$ ､ $M_{2} ， M_{1} M_{2}$ 恒过一个定点.求出这个定点的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x^{3} - x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在单调递增区间，求a的取值范围；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）是 $f (x)$ 的两个不同极值点，证明： $3 l n x_{1} + l n x_{2} > 1$ .

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