湖北省十堰市2021-2022学年高三上学期数学元月期末试卷

试卷更新日期：2022-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq - 2 x + 1 < 5}$ ， $B = {x | y = l n (x + 1) + \frac{1}{x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2]$ C、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 2]$

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2. 若复数z满足 $\frac{1}{z + 1} = - \frac{1}{2} i$ ，则z在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4 a} + \frac{y^{2}}{3 a + 2} = 1$ ，则“ $a > 0$ ”是“曲线C是椭圆”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + a x + a + 1$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、﹣2 B、2 C、﹣6 D、6

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5. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用 $a_{n}$ 表示解下n（ $n \leq 9$ ， $n \in N^{*}$ ）个圆环所需的最少移动次数，若 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 2 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} - 1 ， n 为偶数 \end{array}$ ，则解下6个环所需的最少移动次数为（）

A、13 B、15 C、16 D、29

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6. 已知 $a = l n 3$ ， $b = 3^{0.5}$ ， $c = l g 9$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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7. 已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P}$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、-2 D、-1

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8. 甲烷是一种有机化合物，分子式为 $C H_{4}$ ，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离 $d_{H - H}$ （H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离 $d_{C - H}$ （C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ，即 $c o s ∠ H C H = - \frac{1}{3}$ ，若 $d_{C - H} = a$ ，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{3} a^{3}}{27}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3} a^{3}}{9}$ C、 $\frac{8 \sqrt{2} a^{3}}{27}$ D、 $\frac{8 \sqrt{2} a^{3}}{9}$

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二、多选题

9. 有一组样本甲的数据 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6)$ ，由这组数据得到新样本乙的数据 $2 x_{i} + 1 (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6)$ ，其中 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6)$ 为正实数．下列说法正确的是（）

A、样本甲的期望一定小于样本乙的期望 B、样本甲的方差一定大于样本乙的方差 C、若m为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为 $2 m + 1$ D、若m为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为 $2 m + 1$

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E ， F$ 分别为 $A A_{1} ， C C_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} C$ 与平面 $A F D_{1}$ 垂直 B、直线 $B E$ 与平面 $A F D_{1}$ 平行 C、三棱锥 $A_{1} - A F D_{1}$ 的体积等于 $\frac{2}{3}$ D、平面 $A F D_{1}$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n 2 x}{x^{2} + c o s 2 x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 有无数个零点 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $| f (x) | < \frac{16}{π^{2}}$

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12. “曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 的曼哈顿距离为 $L_{P Q} = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ．若点 $P (- 2 ， 1)$ ， Q是圆 $M ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上任意一点，则 $L_{P Q}$ 的取值可能为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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三、填空题

13. 曲线 $y = l n x + x^{2}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为．

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14. 若 $c o s θ = \frac{1}{5}$ ，则 $s i n θ s i n 2 θ + c o s 2 θ =$ ．

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15. 已知双曲线 $W ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c ， 0)$ ，直线 $l ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x + c)$ 与W的左、右两支分别交于A，B两点，与y轴交于C点，O点是坐标原点．若 $\vec{O A} \cdot \vec{C F} = \frac{c^{2}}{3}$ ，则W的离心率为．

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16. 如图，杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》．它揭示了 ${(a + b)}^{n}$ （n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第9行从左到右数第5个数是，第9行排在奇数位置的所有数字之和为．

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四、解答题

17. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c o s 2 A - \sqrt{3} s i n A + 2 = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b + c = 6 \sqrt{3}$ ，求a的最小值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 \times (3^{n} - 1)$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (3 n - 1) a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．

(1)、求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；

(2)、记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = A B = 2$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $A C ⊥ B D$ ， $△ B C D$ 是等边三角形．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面PCD；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值．

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21. 已知抛物线 $C_{1} ： x^{2} = y$ ， $C_{2} ： x^{2} = - y$ ，点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 在 $C_{2}$ 上，且不与坐标原点O重合，过点M作 $C_{1}$ 的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ．

(1)、当 $x_{0} = 1$ 时，求 $k_{1} + k_{2}$ 的值；

(2)、当点M在 $C_{2}$ 上运动时，求 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} + \frac{k_{1} k_{2}}{k_{3}}$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{a} + (b - 2) x + 2$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时， $f (x) \geq 3$ 恒成立，求b的值；

(2)、当 $0 < a \leq e^{2}$ ，且 $x > 2$ 时， $f (x) > b l n [a (x - 1)]$ 恒成立，求b的取值范围．

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