湖北省部分重点中学2021-2022学年高三上学期数学元月联考试卷

试卷更新日期：2022-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $z = - 1 + i$ ．设 $ω = z \bar{z}$ ，则 $ω =$ （）

A、2i B、2 C、 $2 + 2 i$ D、 $2 - 2 i$

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2. 已知 $g (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 2} ， x < 4 ， \\ l o g_{5} (x - 1) ， x \geq 4 ， \end{array}$ 则 $f (f (26))$ 等于（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、1 D、2

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3. “ $a = 1$ ” 是 “直线 $l_{1} ： (a - 2) x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： (a + 1) x + 2 y - 2 = 0$ 互相垂直” 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 曲线 $C$ 的方程是 $\sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x + 1)^{2} + y^{2}} = 4$ ，则曲线 $C$ 的形状是（）

A、圆 B、椭圆 C、线段 D、直线

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5. 在下列命题中，假命题是（）

A、若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β B、若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β C、若平面α⊥平面β，任取直线l $\subset$ α，则必有l⊥β D、若平面α∥平面β，任取直线l $\subset$ α，则必有l∥β

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6. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为2，动点 $M$ 从顶点 $B$ 出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点 $F$ ，若 $\vec{F D} \cdot \vec{A M}$ 的最大值和最小值分别是 $m$ ， $n$ ，则 $m + n =$ （）

A、9 B、10 C、11 D、12

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7. 已知 $t a n α = \frac{1}{3} ， t a n β = - \frac{1}{7} ，$ 且 $α ， β \in (0 ， π)$ ，则 $2 α - β$ =（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $- \frac{3 π}{4}$ D、 $- \frac{3 π}{4}$ 或 $\frac{π}{4}$

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8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列 ${\frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}}$ 的前n项和为Tn，若对于任意n∈N^* ，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
序号
$n = 20$
$n = 100$
$n = 500$
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（）

A、试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性 B、试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好； C、随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近 D、我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率

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10. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ 相邻的最高点的距离为 $π$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 中心对称 B、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[1 ， 2]$ C、将函数 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，然后向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得 $y = - 2 s i n (4 x + \frac{π}{3})$ 的图象 D、若 $f (θ) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $f (2 θ + \frac{5 π}{12}) = \frac{16}{9}$

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11. 已知圆 $M ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（）

A、四边形PAMB周长的最小值为 $2 + 2 \sqrt{3}$ B、 $| A B |$ 的最大值为2 C、直线AB过定点 D、存在点N使 $| C N |$ 为定值

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12. 如图，已知A，B是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，垂足分别为A，B，且 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，动点P，Q分别位于直线A，B上，且P异于A，Q异于B.若直线PQ与AB所成的角 $θ = \frac{π}{6}$ ，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是（）

A、PQ的长度为定值 B、三棱锥 $A - B P Q$ 的外接球的半径长为定值 C、三棱锥 $A - B P Q$ 的体积为定值 D、点M到AB的距离为定值

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三、填空题

13. 曲线 $f (x) = e^{x} c o s x + 1$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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14. ${(x + 2 y - z)}^{5}$ 展开式中 $x^{2} y z^{2}$ 的系数为.

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15. 函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - a x$ 是R上的单调递增函数，则a的取值范围是．

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16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点 $A ， B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2 ， 1)$ ， $B (- 2 ， 4)$ ，点 $P$ 是满足 $λ = \frac{1}{2}$ 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点 $Q$ 为抛物线 $E ：$ $y^{2} = 4 x$ 上的动点， $Q$ 在 $y$ 轴上的射影为 $H$ ，则 $\frac{1}{2} | P B | + | P Q | + | Q H |$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 的前n项和．

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18. 已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量 $\vec{m} = (s i n B ， 1 - c o s B) 与向量 \vec{n} = (2 ， 0)$ 夹角的余弦角为 $\frac{1}{2} .$

(1)、求角B的大小；

(2)、求 $s i n A + s i n C$ 的取值范围.

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19. 如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形， $P D ⊥$ 平面ABCD， $P D = 4$ ，点E为PD的中点，四棱锥 $Q - A B C D$ 是高为4的正四棱锥.

(1)、求证： $Q B ⊥$ 平面EAC；

(2)、求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.

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20. 为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：

(1)、求这200名学生每周阅读时间的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ (同一组的数据用该组区间中点值代表)；

(2)、由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ .
①一般正态分布 $N (μ ， σ)$ 的概率都可以转化为标准正态分布 $N (0 ， 1)$ 的概率进行计算：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，令 $Y = \frac{X - μ}{σ}$ ，则 $Y ~ N (0 ， 1)$ ，且 $P (X \leq a) = P (Y \leq \frac{a - μ}{σ})$ 利用直方图得到的正态分布，求 $P (X \leq 10)$ ；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.
参考数据： $\sqrt{178} \approx \frac{40}{3}$ ，若 $Y ~ N (0 ， 1)$ ，则 $P (Y \leq 0.75) = 0.7734$ .

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为 $k_{1}$ ，直线NB斜率为 $k_{2}$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - a x + a$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的值；

(2)、设函数 $h (x) = x f (x)$ ，在（1）的条件下，证明： $h (x)$ 存在唯一的极小值点 $x_{0}$ ，且 $h (x_{0}) \in (- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{e^{2}})$ .

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序号	$n = 20$		$n = 100$		$n = 500$
序号	频数	频率	频数	频率	频数	频率
1	12	0.6	56	0.56	261	0.522
2	9	0.45	50	0.55	241	0.482
3	13	0.65	48	0.48	250	0.5
4	7	0.35	55	0.55	258	0.516
5	12	0.6	52	0.52	253	0.506