陕西省西安市2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2022-09-09 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列方程是一元二次方程的是 $($ $)$

A、 $x + 2 y = 1$ B、 $x + y^{2} = 1$ C、 $x - \frac{2}{x} = 1$ D、 $x^{2} - 2 = 0$

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2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）

A、对边相等 B、对角线互相垂直 C、邻边垂直 D、对角线互相平分

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3. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是6000元，现在生产一吨药的成本是5000元．设生产成本的年平均下降为 $x$ ，下列所列的方程正确的是 $($ $)$

A、 $6000 (1 + x)^{2} = 5000$ B、 $5000 (1 + x)^{2} = 6000$ C、 $6000 (1 - x)^{2} = 5000$ D、 $5000 (1 - x)^{2} = 6000$

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4. 在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为 $($ $)$

A、20个 B、30个 C、40个 D、50个

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5. 用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$ ，下面配方正确的是 $($ $)$

A、 $(x - \frac{7}{4})^{2} = \frac{1}{16}$ B、 $(x - \frac{7}{4})^{2} = \frac{97}{16}$ C、 $(x - \frac{7}{2})^{2} = \frac{37}{4}$ D、 $(x + \frac{7}{4})^{2} = \frac{1}{16}$

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6. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知m是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的一个根，则 $8 m - 2 m^{2} + 2$ 的值是（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 有 $($ $)$

A、两个相等的实数根 B、两个不相等的正数根 C、两个不相等的负数根 D、一个正数根和一个负数根

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A E F C$ 是两个矩形，点 $B$ 在 $E F$ 边上，若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ，则矩形 $A E F C$ 的面积为 $($ $)$

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - x + \frac{1}{4} m = 0$ 有实数根，设此方程的一个实数根为 $t$ ，令 $y = 4 t^{2} - 4 t - 5 m + 4$ ，则（）

A、 $y > - 2$ B、 $y ⩾ - 2$ C、 $y ⩽ - 2$ D、 $y < - 2$

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二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）

11. 若 $(m - 2) x^{m^{2} - 2} + 5 x + 4 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $m$ 的值为．

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12. 已知一元二次方程 $x^{2} + k x - 7 = 0$ 有一根为1，则 $k$ 的值为．

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13. “双减”政策后，各校积极探索“课内提质增效，课后丰富多彩”的有效策略，某校的课后服务活动设置了四大板块课程： $A$ ．体育活动； $B$ 劳动技能； $C$ 经典阅读； $D$ 科普活动．若小明和小亮两人随机选择一个板块课程，则两人所选的板块课程恰好相同的概率是．

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14. 如图， $E$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上一点，连接 $C E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ ，垂足为点 $F$ ．若 $A F = 6$ ， $E C = 10$ ，则正方形 $A B C D$ 的面积为．

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15. 如图，已知在 $Δ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，在边 $A C$ 上方作等边 $Δ A C D$ ，则 $B D$ 的长为．

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三、解答题（本大题共5小题，共50分）

16. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 8 x = 9$ （用配方法解）；

(2)、 $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ ；

(3)、 $3 x^{2} - 5 x = 2$ ；

(4)、 $(x + 3)^{2} = 2 x + 6$ ．

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17. 一次圆桌会议设有4个座位，主持人坐在了如图所示的座位上，嘉宾甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③中的3个座位上，请用所学的概率知识求嘉宾甲与乙相邻而坐的概率．

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18. 金都百货某小家电经销商销售一种每个成本为40元的台灯，当每个台灯的售价定为60元时，每周可卖出100个，经市场调查发现，该台灯的售价每降低2元．其每周的销量可增加20个．

(1)、台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为个．

(2)、如果该经销商每周要获得利润2240元，那么这种台灯的售价应降价多少元？

(3)、在（2）的条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

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19. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，延长 $B C$ 到点 $E$ 使 $C E = B C$ ，连接 $A C$ ， $D E$ ．

(1)、求证：四边形 $A C E D$ 是平行四边形；

(2)、连接 $A E$ 交 $D C$ 于点 $F$ ．
①当 $∠ A F C$ 为 $°$ 时，四边形 $A C E D$ 是菱形；
②若 $∠ B = 70 °$ ，则当 $∠ A F C$ 为 $°$ 时，四边形 $A C E D$ 是矩形．

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20. 阅读材料：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} \cdot x_{2} =$ ．

(2)、类比应用：已知一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个根分别为 $m$ 、 $n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．

(3)、思维拓展：已知实数 $s$ 、 $t$ 满足 $2 s^{2} - 3 s - 1 = 0$ ， $2 t^{2} - 3 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} + \frac{1}{t}$ 的值．

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