北京市门头沟区2022届高三上学期数学期末调研试卷

试卷更新日期：2022-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $(1 + \sqrt{3} i) (2 i) =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{3} + 2 i$ B、 $2 \sqrt{3} - 2 i$ C、 $1 + \sqrt{3} i$ D、 $1 - \sqrt{3} i$

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2. 集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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3. 在 $(x^{2} - \frac{1}{x})^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数是（）

A、20 B、10 C、-10 D、-20

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4. “角 $α ， β$ 的终边关于 $x$ 轴对称”是“ $s i n α + s i n β = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 下列函数中，在 $(0 ， + \infty)$ 为增函数的是（）

A、 $y = t a n x$ B、 $y = e^{| x - 1 |}$ C、 $y = l n \frac{1}{x}$ D、 $y = (x - 1) e^{x - 2}$

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6. 如图，在下列四个正方体中， $A ， B$ 为正方体的两个顶点， $M ， N ， Q$ 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 $A B$ 与平面 $M N Q$ 不垂直的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，数列 ${2^{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n} + k$ ，则（）

A、 $d = l o g_{3} 2 ， k = - 1$ B、 $d = l o g_{2} 3 ， k = 0$ C、 $d = l o g_{2} 3 ， k = - 1$ D、 $d = l o g_{3} 2 ， k = 0$

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8. 点 $P$ 在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，则 $P$ 到直线 $x = - 1$ 的距离与到直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 的距离之和的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 在函数 $f (x) = a x - 2$ 的图像上存在两个不同点 $A ， B$ ，使得 $A ， B$ 关于直线 $y = x$ 的对称点 $A^{'} ， B^{'}$ 在函数 $g (x) = e^{x}$ 的图像上，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e)$ B、 $(0 ， \frac{e}{2})$ C、 $(0 ， e)$ D、 $(0 ， e^{2})$

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10. 某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。分值权重表如下：
总分
技术
商务
报价
100%
50%
10%
40%
技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分。若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基础上扣0.8分。在某次招标中，若基准价为1000（万元）。甲、乙两公司综合得分如下表：
公司
技术
商务
报价
甲
80分
90分
$A_{甲}$ 分
乙
70分
100分
$A_{乙}$ 分
甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（）

A、73，75.4 B、73，80 C、74.6，76 D、74.6 ，75.4

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二、填空题

11. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x + y = 0$ ，则 $C$ 的焦距为

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12. 已知 $P$ 为平面上的动点， $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ 为平面上两个定点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则动点 $P$ 的轨迹方程为

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13. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ， $A D = B C = 2$ ， $A B = 4$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $P$ 是 $B C$ 的中点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ =

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14. 已知函数 $y = f (x + 2)$ 为奇函数，且 $f (x + 3) = f (3 - x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} + l o g_{4} (x + 1) - 1$ ，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 图像关于 $(- 2 ， 0)$ 对称
② $f (x)$ 图像关于直线 $x = 1$ 对称
③ $f (2021) = \frac{1}{2}$
④ $f (x)$ 在区间 $(2021 ， 2022)$ 单调递减
其中所有正确结论的序号是

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15. 函数 $f (x) = s i n 2 x$ 的图像向左平移个长度单位得到函数 $g (x) = s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图像，若函数 $g (x)$ 在区间 $(0 ， a)$ 单调递增，则 $a$ 的最大值为

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} （ b c o s C + c c o s B ） = 2 a c o s A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在并唯一确定，并求 $c$ 的值.
条件①： $b = 2 \sqrt{3}$
条件②： $b = 1$
条件③： $c o s B = - \frac{1}{3}$
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A B = A D = P D = 2$ ， $D C = 4$ ， $A B / / D C$ ， $∠ A D C = \frac{π}{2}$ ， $P D ⊥ 平面 A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P D$ ， $P C$ 的中点．

(1)、判断直线 $A E$ 与 $B F$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、求二面角 $P - B C - A$ 的余弦值；

(3)、求点 $E$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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18. 第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办. 为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了20名，得到这20名优秀学生的统计如下：
高一班级
一（1）
一（2）
一（3）
一（4）
一（5）
一（6）
人数
4
5
4
3
3
1

(1)、从这20名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛.
（i）恰好这2名学生都来自同一班级的概率是多少？
（ii）设这2名学生中来自高一（2）的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望；

(2)、如果该校高中生的优秀率为0.1，从该校中随机抽取2人，这两人中优秀的人数为 $η$ ，求 $η$ 的期望.

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19. 已知函数 $f (x) = s i n x + l n (1 + x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， π)$ 存在唯一极大值点；

(3)、证明：当 $x \geq 0$ ， $f (x) \geq 0$ ．

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20. 已知椭圆 $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴的左、右端点分别为 $A_{1} (- 2 ， 0) ， A_{2} (2 ， 0)$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $x = m y + 1$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ 交于点 $S$ ，试问：当 $m$ 变化时，点 $S$ 是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

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21. 若集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}}$ （ $0 ≤ a_{1} < a_{2} < a_{3} < ⋯ < a_{n}$ ）满足：对任意 $i ， j$ （ $1 \leq i \leq j \leq n$ ），均存在 $k ， t$ （ $1 ≤ k ≤ n ， 1 ≤ t ≤ n$ ），使得 $(a_{j} - a_{i} - a_{k}) (a_{j} + a_{i} - a_{t}) = 0$ ，则称 $A$ 具有性质 $P$ ．

(1)、判断集合 $M = {0 ， 3 ， 6 ， 9}$ ， $N = {1 ， 4 ， 6 ， 8}$ 是否具有性质 $P$ ；（只需写出结论）

(2)、已知集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}}$ （ $0 ≤ a_{1} < a_{2} < a_{3} < ⋯ < a_{n}$ ）具有性质 $P$ ．
（ $i$ ）求 $a_{1}$ ；
（ $i i$ ）证明： $\frac{n}{2} a_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}$ ．

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公司	技术	商务	报价
甲	80分	90分	$A_{甲}$ 分
乙	70分	100分	$A_{乙}$ 分

高一班级	一（1）	一（2）	一（3）	一（4）	一（5）	一（6）
人数	4	5	4	3	3	1

总分	技术	商务	报价
100%	50%	10%	40%