安徽省宣城市2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{- 1 + i}{i}$ （i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $P = {x | \sqrt{x} \leq 2}$ ， $Q = {y | y = l o g_{\frac{1}{3}} x ， \frac{1}{9} \leq x \leq 3}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 $[- 1 ， 2]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[- 1 ， 4]$ D、 $[0 ， 4]$

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3. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 20$ ， $a_{n} = a_{n - 1} - 3 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前n项和取最大值时，n的值是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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4. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} g (x) + 2 ， x > 0 \\ l o g_{2} (1 - x) ， x \leq 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 是奇函数，则 $g (3)$ 的值是（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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5. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，如果 $a \subset α$ ， $α ∥ β$ ，那么“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $b ⊥ β$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 2022年冬季奥林匹克运动会，计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为第一个举办过夏奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市，这也是中国历史上第一次举办冬季奥运会．近期，冬奥会组委会招募6名志愿者为四个馆区提供志愿服务，要求A，B两个馆区各安排一人，剩下两个馆区各安排两人，不同的安排方案共有（）

A、90种 B、180种 C、270种 D、360种

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7. 将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 图象，则下列判断错误的是（）

A、函数 $g (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $g (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{2}{3} π$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减 D、 $g (x)$ 图象关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称

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8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 $A (1 ， 1)$ ，若将军从山脚下的点 $B (4 ， 4)$ 处出发，河岸线所在直线l的方程为 $x - y + 1 = 0$ ，则“将军饮马”的最短总路程是（）

A、 $3 \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{34}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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9. 如图所示，点D是等边 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ， $C D = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B D$ 的周长是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $6 + 2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3} + 2$

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10. 函数 $f (x) = 2 x^{3} + \frac{3}{1 + e^{x}}$ ，其导函数记为 $f^{'} (x)$ ，则 $f (2022) + f^{'} (2022) + f (- 2022) - f^{'} (- 2022)$ 的值是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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11. 已知点F为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A (- 1 ， 0)$ ，点M为抛物线上一动点，当 $\frac{| M F |}{| M A |}$ 最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2} - 1}{4}$

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x - 1 ， x < m \\ \frac{x - 1}{e^{x}} ， x \geq m \end{array}$ ，且 $g (x) = f (x) - n$ ．若存在实数n，使得函数 $g (x)$ 恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $(1 - \frac{1}{e^{2}} ， 2)$ B、 $(1 + \frac{1}{e^{2}} ， 2)$ C、 $(- 1 - \frac{1}{e^{2}} ， 2)$ D、 $(- 1 + \frac{1}{e^{2}} ， 2)$

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二、填空题

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $l ： x - 2 y - \sqrt{5} = 0$ 平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程是．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， λ)$ ，若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值是．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $s i n A = \sqrt{3} s i n C$ ， $B = 30 °$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的周长是．

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16. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M在线段 $C D_{1}$ （含端点）上运动，下列结论正确的是．
① $B_{1} M ⊥ A C_{1}$ ；② $B_{1} M ∥$ 平面 $A_{1} B D$ ；③三棱锥 $A_{1} - B D M$ 体积不变，为 $\frac{1}{3}$ ；④ $B_{1} M$ 与 $A_{1} D$ 所成角的范围为 $(0 ， \frac{π}{3})$ ；⑤DM与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

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三、解答题

17. 食品有三个等级：有机食品、绿色食品、无公害食品．某调查机构在某大型超市随机调查了50种不同的食品，利用食品分类标准得到的数据如下：
等级
有机食品
绿色食品
无公害食品
种类
10
15
25

(1)、若将频率视为概率，从这50种食品中有放回地随机抽取4种，求恰好有2种食品是有机食品的概率；（结果用分数表示）

(2)、用分层抽样的方法从这50种食品中抽取10种，再从抽取的10种食品中随机抽取3种，X表示抽取的是绿色食品种类的数量，求X的分布列及数学期望 $E (X)$ ．

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18. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为直角梯形， $A B ∥ D C$ ， $A B ⊥ A D$ ，且 $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ， $P A = P B = P D = \sqrt{6}$ ．

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面PBD；

(2)、直线PC上是否存在一点M使得二面角 $B - D M - C$ 为直二面角，若存在，求出M点的位置；若不存在，请说明理由．

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19. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $T_{n}$ 为数列 ${S_{n}}$ 的前n项和，已知 $S_{n} + T_{n} = 2$ ．

(1)、求证：数列 ${S_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前n项和 $A_{n}$ ．

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20. 已知在平面直角坐标系中，动点 $P$ 到 $F_{1} (- 1 ， 0)$ 、 $F_{2} (1 ， 0)$ 两点的距离之和等于 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、若与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 相切的直线 $l_{1} ： y = k x + m$ 与曲线 $C$ 相交 $M$ 、 $N$ 两点，直线 $l_{2}$ 与直线 $l_{1}$ 平行，且与曲线 $E$ 相切于点 $A$ （ $O$ 、 $A$ 位于直线 $l_{1}$ 的两侧），记 $△ A M N$ 、 $△ O M N$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - a e^{x} (a \in R)$

(1)、若 $f (1) = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程．

(2)、当 $a > 0$ 时，若对任意 $x > 0$ ， $f (x) \leq l n a$ 恒成立，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 - t \\ y = 2 + t \end{array}$ （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 6 s i n θ$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 相交于A，B两点，求 $| O A | \cdot | O B |$ 的值．

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23. 设函数 $f (x) = | x + 2 a + 1 | - | x - 2 a |$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 2$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in R$ ， $f (x) \leq 2$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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等级	有机食品	绿色食品	无公害食品
种类	10	15	25