安徽省阜阳市2021-2022学年高三上学期理数期末教学质量统测试卷

试卷更新日期：2022-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x^{2} - 4 x \leq 0} ， N = {x | 1 < x < 5}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 1}$ B、 ${x | 1 < x \leq 4}$ C、 ${x | 4 \leq x < 5}$ D、 ${x | 0 \leq x < 5}$

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2. 设 $z = (c o s \frac{π}{3} + i s i n \frac{π}{3}) \cdot (c o s \frac{π}{6} + i s i n \frac{π}{6})$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 下图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值为（）

A、-1 B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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4. 某村的农民经济收入由养殖业收入､种植业收入和第三产业收入构成.在贯彻落实乡村振兴政策的帮扶下，该村农民每年的收入都比上一年的收入翻一番，该村前三年的收入情况如图所示，则下列说法正确的是（）

A、该村2020年总收入是2018年总收入的3倍 B、该村近三年养殖业收入不变 C、该村2018年种植业收入是2020年种植业收入的 $\frac{7}{20}$ D、该村2020年第三产业收入低于前两年的第三产业收入之和

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5. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - f^{'} (1)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 e x$ B、 $y = 2 e x - 2 e$ C、 $y = 2 e x + e$ D、 $y = 2 e x - 3 e$

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6. $(1 - \frac{1}{x^{2}}) {(x + 2)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、39 B、41 C、-41 D、-39

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7. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递增，且 $f (- 2) = 0$ ，则满足 $x f (x - 4) \geq 0$ 的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0) ∪ [2 ， 6]$ B、 $(- \infty ， 0] ∪ [2 ， 6]$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ [4 ， 6]$ D、 $(- \infty ， 0] ∪ [4 ， 6]$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n ω x c o s ω x + c o s^{2} ω x (ω > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ C、 $[\frac{1}{4} ， \frac{5}{8}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{5}{4}]$

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9. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指 $O A$ 与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为 $α$ ，观测该卫星的仰角为 $β$ ，则下列关系一定成立的是（）

A、 $\frac{r + h}{c o s β} = \frac{r}{c o s (α + β)}$ B、 $\frac{h}{c o s β} = \frac{r}{c o s (α + β)}$ C、 $\frac{r + h}{s i n β} = \frac{r}{s i n (α + β)}$ D、 $\frac{h}{s i n β} = \frac{r}{s i n (α + β)}$

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10. 已知P为抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一动点，F为E的焦点，点Q为圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ 上一动点，若 $| P F | + | P Q |$ 的最小值为3，则 $p =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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11. 已知 $A ， B ， C ， D$ 均在球 $O$ 的表面上， $△ A B C$ 为边长为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A D = 2$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、π B、2π C、4π D、8π

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12. 闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为 $A = (a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n})$ 和 $B = (b_{1} ， b_{2} ， ⋯ ， b_{n})$ ，这两组数据间的闵氏距离定义为 $d_{A B} (q) = {[\sum_{k = 1}^{n} {| a_{k} - b_{k} |}^{q}]}^{\frac{1}{q}}$ ，其中q表示阶数.现有下列四个命题：
①若 $A = (1 ， 2 ， 3 ， 4) ， B = (0 ， 3 ， 4 ， 5)$ ，则 $d_{A B} (1) = 4$ ；②若 $A = (a ， a + 1) ， B = (b - 1 ， b)$ ，其中 $a ， b \in R$ ，则 $d_{A B} (1) = d_{A B} (2)$ ；③若 $A = (a ， b) ， B = (c ， d)$ ，其中 $a ， b ， c ， d \in R$ ，则 $d_{A B} (1) \geq d_{A B} (2)$ ；④若 $A = (a ， a^{2}) ， B = (b ， b - 1)$ ，其中 $a ， b \in R$ ，则 $d_{A B} (2)$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{8}$ .
其中所有真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 4 ， 5) ， \vec{b} = (- 2 ， 0) ， \vec{c} = (λ ， - 1)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $λ =$ .

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14. 设数列 ${a_{n}}$ 是单调的等比数列， $\frac{a_{2}}{2}$ 是 $a_{3} ， a_{4}$ 的等差中项，则 ${a_{n}}$ 的公比为.

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15. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，点P在C上.若 $∠ P F_{1} F_{2} = ∠ F_{1} P F_{2} = 30 °$ ，则C的离心率为.

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16. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， B C = A A_{1} = 1$ ，若过其对角线 $A C_{1}$ 的平面截该长方体所得截面与边 $C D$ 没有公共点，则截面面积的最小值是.

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三、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3 ， A C = 6$ ， A为锐角， $B C ， A C$ 边上的两条中线 $A M ， B N$ 相交于点P， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $B C$ 的长度；

(2)、求 $∠ M P N$ 的余弦值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 3 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{3} a_{n}$ ，令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，已知平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D E F$ ，点O在线段 $A D$ 上， $O D = 2 O A = 2$ ， $△ O A B ， △ O C D ， △ O D E ， △ O A F$ 都是等边三角形.

(1)、证明：B，C，E，F四点共面；

(2)、求平面 $A B F$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值.

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20. 足球运动是一项在学校广泛开展､深受学生喜爱的体育项目，对提高学生的身心健康具有重要的作用.某中学为了推广足球运动，成立了足球社团，该社团中的成员分为A，B，C三个层次，其中A，B，C三个层次的球员在1次射门测试中踢进球的概率如表所示，A，B，C三个层次的球员所占比例如图所示.
层次
A
B
C
概率
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$

(1)、若从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，求该球员踢进球的概率；

(2)、若从该社团中随机选1名球员，连续进行5次射门测试，每次踢进球与否相互独立，记踢进球的次数为X，求X的分布列及数学期望.

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆C过点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，焦点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，圆O的直径为 $F_{1} F_{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线l与椭圆C和圆O分别相切于A，B两点，求 $△ A O B$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + x}{1 - x} \cdot e^{x}$ ，函数 $g (x) = f (x) + a (x + 1)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上存在两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} > 1$ .

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层次	A	B	C
概率	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$