安徽省亳州市普通高中2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{x^{3} + 1}}$ ， $B = {x | {(\frac{1}{4})}^{x} < 2}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | x \leq - \frac{1}{2}}$ C、 ${x | x > - 1}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq - \frac{1}{2}}$

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2. 已知 $z (1 - i) = \frac{1}{2 + i}$ ，则 $z$ 的共辄复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{3}{10} + \frac{i}{10}$ B、 $\frac{3}{10} - \frac{i}{10}$ C、 $\frac{1}{10} - \frac{3 i}{10}$ D、 $\frac{1}{10} + \frac{3 i}{10}$

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3. “ $c o s (2 α + \frac{π}{3}) = - \frac{7}{25}$ ”是“ $c o s (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 直线 $l$ ： $x - m y + 2 m + 3 = 0 (m \in R)$ 被圆 $C$ ： $x^{2} + 2 x + y^{2} - 8 = 0$ 截得的最短弦长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 某几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）

A、6 B、9 C、18 D、36

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，且满足 $| P F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ .若椭圆的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，则 $∠ P F_{1} F_{2}$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

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7. 设 $a > b > 0$ ， $c \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2^{a - b} < 1$ B、 $a c^{3} > b c^{3}$ C、 $l n (a + b) + \frac{1}{l n (a + b)} \geq 2$ D、 $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} + l o g_{2} | x |$ ， $a = f (2^{- 0.2})$ ， $b = f (l g π)$ ， $c = f (l o g_{0.2} 6)$ ，则a，b，c的大小关系正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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9. 若函数 $f (x) = s i n (\frac{π}{2} + x) s i n (x - 2 π) - a c o s (π - x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， \sqrt{2}]$ C、 $(1 ， \sqrt{2}]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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10. 已知斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 分别交双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右支于点M，N，线段MN的中点为P，若OP（点О为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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11. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $2 S_{n} + 9 = 3^{n + 2}$ ， $b_{n} = l o g_{9} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则满足 $T_{n} \geq 45$ 的 $n$ 的最小值为（）

A、12 B、7 C、6 D、1

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12. 已知 $a < 0$ ，若 $x > 1$ 时， $e^{- x} - l n e^{- x} \geq x^{a} - l n x^{a}$ 恒成立，则 $a$ 的最小值为（）

A、-1 B、-2 C、-e D、-2e

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二、填空题

13. 如图，在平面四边形ACDE中，点B在边AC上， $△ A B E$ 是等腰直角三角形，四边形BCDE是边长为1的正方形，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C E} =$ .

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14. 为了解某校1200名高一学生的身高状况，按性别比例采用分层抽样的方法从中抽取50人进行调查，若样本中男生比女生多10人，则该校高一学生中女生的人数为.

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15. 已知点A，B，C，D均在球О的球面上，且球心О在线段AD上，若球О的表面积为 $16 π$ ， $△ A B C$ 是面积为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，则三棱锥 $D - A B C$ 的体积为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 4$ ， $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 2^{n} (n \geq 2)$ ，若不等式 $2 n^{2} - n - 3 < (1 - λ) a_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中． $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $a_{4} - a_{2} = 4$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求满足 $S_{n} \leq 120$ 的 $n$ 的最大值．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} b s i n (\frac{π}{2} - C) = c s i n B$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C$ ， $△ P A C$ 是等边三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $P D = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $P D ⊥ A B$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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20. 如图所示，两村庄 $A$ 和 $B$ 相距 $10 k m$ ，现计划在两村庄外以 $A B$ 为直径的半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上选择一点 $C$ 建造自来水厂，并沿线段 $C A$ 和 $C B$ 铺设引水管道.根据调研分析， $C A$ 段的引水管道造价为 $2$ 万元 $/ k m$ ， $C B$ 段的引水管道造价为 $m$ 万元 $/ k m$ ，设 $C A = x k m$ ，铺设引水管道的总造价为 $y$ 万元，且已知当自来水厂建在半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时， $y = 30 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $m$ 的值，并将 $y$ 表示为 $x$ 的函数；

(2)、分析 $y$ 是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为6.

(1)、求抛物线方程；

(2)、若直线 $m ⊥ l$ ，且交抛物线于C，D两点， $O$ 为坐标原点且 $\vec{O C} \cdot \vec{O D} = 48$ ，求 $△ C D F$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + l n x$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 e^{x} - x$ ，若当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $g (x) < M$ ，求 $M$ 的最小整数值.

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