山东省济南市历下区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，全面普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 小明有两根长度为5cm，10cm的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有几根木棒供他选择，他有几种选择？（）

A、1种 B、2种 C、3种 D、4种

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3. 如图所示，若AB∥CD， $∠ 1 = 55 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $125 °$

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4. “梦想从学习开始，事业从实践起步”，近来，每天登录“学习强国”APP，学精神、增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是小颖爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有关数据，则下列说法错误的是（）
学习天数n（天）
1
2
3
4
5
6
7
周积分w（分）
55
110
165
220
275
330
385

A、在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量 B、周积分随学习天数的增加而增加 C、周积分w与学习天数n的关系式为 $w = 55 n$ D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同

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5. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ B、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $(3 a b)^{3} = 9 a^{3} b^{3}$

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6. 下列说法正确的是（）

A、小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件 B、任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件 C、“清明时节雨纷纷”是必然事件 D、若a是有理数，则“ $| a | \geq 0$ ”是不可能事件

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7. 如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准，这是利用的什么数学原理呢？（）

A、SSS B、SAS C、ASA D、AAS

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8. 一个质量均匀的正方体骰子，六个面分别标有1，2，3，4，5，6，任意掷一次骰子，掷出结果为“2的倍数”的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 一个袋中装有3个红球，2个白球和4个黄球，每个球除颜色外均相同．从袋中任意摸出一个球，取到黄色球的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在 $A^{'}$ 处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与 $B A^{'}$ 重合，折痕为BD，若 $∠ A B C = 52 °$ ，则 $∠ E B D$ 的度数为（）

A、 $28 °$ B、 $52 °$ C、 $48 °$ D、 $38 °$

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11. 小颖给同学们讲了一个她自己编的“龟兔赛跑”的故事，小聪根据小颖讲的故事画出了如图所示的图象，表示了龟和兔已走路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，小华根据小聪画的图象得出了以下结论：
⑴ $l_{1}$ 描述的是乌龟的行进情况， $l_{2}$ 描述的是兔子的行进情况；
⑵乌龟和兔子是从同一地点出发的；
⑶乌龟和兔子在比赛途中相遇了两次；
⑷在 $t_{3}$ 时刻，兔子在乌龟的前面，结论正确的有（）个

A、4 B、3 C、2 D、1

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12. 如图，将 $△ A B C$ 沿AC所在的直线翻折得到 $△ A B^{^{'}} C$ ，再将 $△ A B^{^{'}} C$ 沿 $A B^{'}$ 所在的直线翻折得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，点 $B ， B^{'} ， C^{'}$ 在同一条直线上， $∠ B A C = ∠ α$ ，则 $∠ C B^{'} B =$ （）

A、 $2 α$ B、 $α$ C、 $90 ° - α$ D、 $90 ° - 2 α$

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二、填空题

13. 化简： $(a + 1)^{2} =$ ．

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14. 计算： ${(a^{2} b c)}^{2} \div a b^{2} c =$ ．

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15. 如图是一个寻宝游戏的戴宝图，分别有“花朵”，“太阳”，“月亮”三种图案，宝物（只有一个）藏在“月亮”下的概率是．

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16. 如图，AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上一点，若 $∠ C = 62 °$ ，则 $∠ D E B =$ °．

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17. 如图，梯形的上底是x，高是8，下底是15，面积是y，当x增加4时，y增加．

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18. 如图， $△ E F G$ 和 $△ H I J$ 都是等边三角形，连接HG，EI交于点P，则 $∠ E P H =$ 度．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $(3 x - y) (3 x + y) + y (x + y)$ ；

(2)、 ${(\frac{1}{3})}^{0} \div {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$ ．

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20. 解答：

(1)、如图，在方格纸中，画出 $△ A B C$ 关于直线MN对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在对称轴MN上求一点P，使得 $P A + P C$ 最短．

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21. 先化简，再求值： $x (x + y) - {(x + 1)}^{2} + 2 x$ ，其中 $x = \frac{1}{2022} ， y = - 2022$ ．

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22. 已知：在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC.求证：AC＝AE.

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23. 小蒙设计了两个抽奖游戏，游戏一是转盘游戏，如图，转盘被等分成了4个扇形，共有红、黄和蓝三种颜色，自由转动转盘，指针停在红色时会得到奖励；游戏二是摸球游戏，袋子里有2个红球、2个黄球和1个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球会得到奖励．小雨要参加抽奖游戏，你建议她参加哪一个游戏？请说明理由．

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24. 如图，小长方形的长为a，宽为b，将七个这样的小长方形放在大长方形ABCD中，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积分别记为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．

(1)、若 $A B = 10$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的值（用含有a，b的字母表示）；

(2)、若 $S_{1} - S_{2}$ 的值为ab，求a与b的数量关系．

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25. 在 $△ A B C$ 中，BD和CE分别是 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的角平分线，BD，CE相交于点O．

(1)、如图1，若 $∠ A B C = 50 °$ ， $∠ A C B = 76 °$ ，求 $∠ B O C$ 的度数；

(2)、借助图1，若 $∠ A B C = α$ ， $∠ A C B = β$ ，求 $∠ B O C$ 与 $∠ A$ 的关系；

(3)、如图2，若 $A B = A C$ ，求证： $O E = O D$ ．

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26. 小明从学校步行去美术馆，同时小红骑车从美术馆回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是80米/分钟，如图是两人与学校的距离s（米）与小明的运动时间t（分钟）之间的关系图．

(1)、学校与美术馆之间的距离为米；

(2)、求小红停留再出发后s与t的关系式；

(3)、请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间．

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27. 在直角三角形中，三边存在特殊的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，如图1，因为 $∠ C = 90 °$ ，所以 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．这种特殊的关系被称为勾股定理．
勾股定理的证明方法非常丰富，达数百种之多，其中比较出名的，有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”（见《周髀算经》）和政几里得的证法（见《几何原本》）．

(1)、赵爽的证明方法：如图2，四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，中间空白的部分是小正方形，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则小正方形的边长为 $(b - a)$ ；在此基础上，大正方形的面积可以直接表示为，还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和，为．于是得到等式；化简后可得 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．

(2)、欧几里得的证明方法：
①如图3，设 $R t △ A B C$ 的两条直角边分别为a和b，斜边为c，分别以这三条边为边，向外做三个正方形，得到正方形ADEB，正方形ACFG和正方形BHKC，连接EC与AH，做 $A N ⊥ H K$ 交HK于N，交BC于M，首先请证明 $Δ E B C ≅ Δ A B H$
② $Δ E B C ≅ Δ A B H$
$∴ S_{Δ E B C} = S_{Δ A B H}$
$∵$ 正方形ADEB与 $Δ E B C$ 同底等高，长方形BHNM与 $△ A B H$ 同底等高，
$∴$ $S_{□ A D E B} = 2 S_{Δ E B C} ， S_{▭ B H N M}$ = ，
$∴ S_{□ A D E B} =$ ，
同理可得 $S_{□ A C F G} = S_{▭ M N K C}$
所以： $S_{□ B H K C} = S_{▭ B H N M} + S_{▭ M N K C} = 2 S_{□ A D E B}$
即 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ．

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学习天数n（天）	1	2	3	4	5	6	7
周积分w（分）	55	110	165	220	275	330	385