重庆市长寿区2022届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $P = {3 ， 4 ， 5}$ ， $Q = {6 ， 7}$ ，定义 $P \otimes Q = {(a ， b) | a \in P ， b \in Q}$ ，则 $P \otimes Q$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(3 + 4 i) z = 7 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 若 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 4)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $| \vec{a} | = \sqrt{5}$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $| \vec{b} | = 2 \sqrt{5}$

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4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如 $8 = 3 + 5$ ．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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5. 已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点且与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点关于 $y$ 轴的对称点在直线 $x = - 2$ 上，则 $| A B | =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 若 $(1 + x) (1 - 2 x)^{2020} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{2021} x^{2021}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{2021} =$ （）

A、0 B、2 C、-1 D、1

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7. 过点 $(0 ， 2)$ 作与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 相切的直线l，则直线l的方程为（）

A、 $3 x - 4 y + 8 = 0$ B、 $3 x + 4 y - 8 = 0$ C、 $x = 0$ 或 $3 x + 4 y - 8 = 0$ D、 $x = 0$ 或 $3 x - 4 y - 8 = 0$

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8. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ，且 $f (- x) = f (x)$ ，当 $1 < x \leq 2$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、－1 B、－3 C、1 D、3

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二、多选题

9. 给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（）

A、平均数为3 B、标准差为 $\frac{8}{5}$ C、众数为2和3 D、中位数为3

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10. 已知双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、离心率 $e$ 为 $\frac{4}{3}$ B、渐近线方程为 $\sqrt{7} x \pm 3 y = 0$ C、焦点为 $(\pm \sqrt{2} ， 0)$ D、焦点到渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{4}$

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11. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ ， $Q$ 分别为棱 $B C$ 和 $C C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $B C_{1} / /$ 平面 $A Q P$ B、 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A Q P$ C、异面直线 $A_{1} C$ 与 $P Q$ 所成角为90° D、平面 $A Q P$ 截正方体所得截面为等腰梯形

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增 B、 $x = - 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 C、 $f (x)$ 有三个零点 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 3]$ 上最大值是4

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三、填空题

13. 写出一个最大值为4，最小值为-2的周期函数 $f (x) =$ .

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14. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距 $θ (0 ° \leq θ \leq 80 °)$ 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距 $θ$ 正切值的乘积，即 $l = h \cdot \tan θ$ ．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的 $2$ 倍和 $3$ 倍（所成角记 $θ_{1}$ 、 $θ_{2}$ ），则 $\tan (θ_{1} + θ_{2}) =$ ．

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15. 已知 $l g (x + 2 y) = l g x + l g y$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为．

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16. 已知正四面体ABCD的表面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为．

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四、解答题

17. 在① $\sqrt{3} b c o s A = a s i n B$ ；② $\sqrt{3} a s i n B = b (2 - c o s A)$ ；③ $c o s C = \frac{2 b - c}{2 a}$ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题：
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________且 $a = \sqrt{3}$ ， △ABC的面积为 $\frac{1}{2} a$ ，求△ABC的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{2}$ ．等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为3，且 $b_{1} + b_{3} = 10$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $c_{n} = \frac{a_{n}}{2 n + 2} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 在如图所示的四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E为PD的中点．

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若 $P A = A D = 1$ ， $A B = 2$ ，求二面角 $E - A C - B$ 的余弦值．

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20. 已知曲线 $C ： a x^{2} + b y^{2} = 1$ 过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 和 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{14}}{4})$ ．

(1)、求曲线C的方程，并指出曲线类型；

(2)、若直线2x－y－2＝0与曲线C的两个交点为A，B，求△OAB的面积（其中O是坐标原点）．

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21. “学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮．该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”．某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们2021年年底的积分情况，并将数据整理如下：
积分
性别
2000~3000（分）
3001~4000（分）
4001~5000（分）
5001~6000（分）
＞6000（分）
男性
80
60
30
20
10
女性
20
60
100
20
0
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；

优秀员工
非优秀员工
总计
男性
女性
总计

(2)、以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．

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22. 已知函数 $f (x) = m x - (m + 2) l n x - \frac{n}{x}$ ， $g (x) = \frac{l n x}{x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处与直线 $y = - 3$ 相切，求出实数 $m$ 、 $n$ 的值以及 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $n = 2$ ，是否存在实数 $m < 0$ ，当 $x \in [1 ， 2]$ 时，不等式 $f (x) + 3 \geq g (x)$ 有解？若存在，求出实数 $m$ 的取值范围，若不存在，说明理由．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

	优秀员工	非优秀员工	总计
男性
女性
总计