云南省普洱市2022届高三上学期理数期末统测试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {x \in Z | 1 \leq x < 3}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 $[1 ， 4)$ C、 ${1 ， 2 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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3. 下列命题正确的是（）

A、“ $x = y$ ”是“ $s i n x = s i n y$ ”的充分不必要条件 B、命题“ $p \land q$ ”为假命题，则命题p与命题q都是假命题 C、“ $a m^{2} < b m^{2}$ ”是“ $a < b$ ”成立的必要不充分条件 D、命题“存在 $x_{0} \in R$ ，使得 ${x_{0}}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ ”的否定是：“对任意 $x \in R$ ，均有 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”

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4. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的偶函数和奇函数，且 $f (x) - g (x) = x^{3} - 2 x^{2}$ ，则 $f (2) + g (2) =$ （）

A、8 B、-8 C、16 D、-16

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5. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $P (x_{0} ， 3)$ 到其焦点 $F$ 的距离为5，则抛物线的标准方程为（）

A、 $x^{2} = 2 y$ B、 $x^{2} = 6 y$ C、 $x^{2} = 4 y$ D、 $x^{2} = 8 y$

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、2 C、8 D、4

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7. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\frac{s i n α}{2 - c o s α} = t a n \frac{α}{2}$ ，则 $t a n α =$ （）．

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 为调查了解新冠病毒疫苗接种情况，某地疾控中心决定安排5名工作人员到3个社区进行宣传指导，每个社区至少分配1名工作人员，则不同的分配方案共（）种.

A、150 B、240 C、300 D、720

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9. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{3} π$ ， $c = l o g_{3} 4$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c > a > b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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10. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高为 $(15 \sqrt{3} - 15) m$ ，在它们之间的地面上的点 $M$ （ $B ， M ， D$ 三点共线）处测得楼顶 $A$ ，教堂顶 $C$ 的仰角分别是15°和60°，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A、 $20 m$ B、 $30 m$ C、 $20 \sqrt{3} m$ D、 $30 \sqrt{3} m$

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11. 已知变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 6 \\ 3 y - x \geq 2 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，若目标函数 $z = a x + b y (a > 0 ， b > 0)$ 的最小值为2，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、 $\frac{11}{2}$ C、5 D、 $\frac{9}{2}$

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12. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A$ 、 $B$ 两点.若 $△ A B F_{2}$ 是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A、 $(1 ， \sqrt{2})$ B、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \sqrt{2} + 1)$ D、 $[\sqrt{2} + 1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 向量 $\vec{a}$ 是单位向量， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 二项式 $(1 + 2 x^{4}) {(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为.

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15. 将函数 $f (x) = 2 c o s x$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2 ω} (ω > 0)$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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16. 在边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折，使得二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，则三棱锥 $B - A C D$ 外接球的表面积是.

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且满足 $4 a_{1}$ ， $2 a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $T_{n} = 2 a_{1} + 3 a_{2} + ⋯ + (n + 1) a_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 如图是某市2011年至2020年当年在售二手房均价（单位：千元/平方米）的散点图（图中年份代码1~10分别对应2011年~2020年）.现根据散点图选择用 $y = a + b x$ 和 $y = e^{c + d x}$ 两个模型对年份代码 $x$ 和房价 $y$ 的关系进行拟合，经过数据处理得到两个模型对应回归方程的相关指数 $R^{2}$ 和一些统计量的值，如下表：
模型
$y = a + b x$
$y = e^{c + d x}$
相关指数 $R^{2}$
0.8821
0.9046
$\bar{y}$
$\bar{w}$
$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (w_{i} - \bar{w})$
6.81
1.89
82.5
44.55
6.6
表中 $w_{i} = l n y_{i}$ ， $\bar{w} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} w_{i}$ .
参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ， …， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .参考数据： $e^{2.35} \approx 10.49$ ， $e^{2.36} \approx 10.59$ .

(1)、请利用相关指数 $R^{2}$ 判断：哪个模型的拟合效果更好；并求出该模型对应的回归方程（参数估计值精确到0.01）；

(2)、根据（1）得到的方程预计；到哪一年，该市的当年在售二手房均价能超过10.5千元/平方米.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 在棱 $C P$ 上，且 $C F = 2 F P$ .

(1)、求证：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $A B = 2 P A = 2$ ，求二面角 $A - E F - C$ 的余弦值.

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20. 设动点 $M$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任意一点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，若点 $P$ 在线段 $M N$ 上，且满足 $\vec{O N} + \vec{O M} = 2 \vec{O P}$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $Q (\sqrt{3} ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $△ A O B$ 面积的最大值，并求出此时直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = a (x - 1) - x l n x (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，求证： $\frac{l n 1}{2} + \frac{l n 2}{3} + ⋯ + \frac{l n n}{n + 1} \leq \frac{n (n - 1)}{4}$ ．

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22. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ (1 + c o s 2 θ) = s i n θ$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = 2 - t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、写出曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，点 $M (0 ， 2)$ ，求 $\frac{1}{| M P |} + \frac{1}{| M Q |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 3 | + | 2 x + 1 |$ .

(1)、解不等式： $f (x) \geq 6$ ；

(2)、设 $x \in R$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $M$ .若正实数 $a ， b ， c$ 满足 $a + b + c = M$ ，求 $a b + b c + c a$ 的最大值.

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模型		$y = a + b x$			$y = e^{c + d x}$
相关指数 $R^{2}$		0.8821			0.9046
$\bar{y}$	$\bar{w}$		$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$		$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (w_{i} - \bar{w})$
6.81	1.89		82.5	44.55		6.6