云南省德宏州2022届高三上学期理数期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {x \in N | 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {2 ， 4 ， 6}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${x | 2 \leq x \leq 5}$ C、 ${x | 2 \leq x \leq 6}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则 $z$ 在复平面对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）

A、甲得分的极差是11 B、甲的单场平均得分比乙低 C、甲有3场比赛的单场得分超过20 D、乙得分的中位数是16.5

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{8} + a_{11} = 60$ ，则 $S_{13}$ 值的是（）

A、130 B、260 C、390 D、520

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5. 已知A为抛物线C： $y^{2} = 12 x$ 上一点，点A到C的焦点的距离为12，则点A到y轴的距离为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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6. 已知 $a = l o g_{3} \frac{7}{2}$ ， $b = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}}$ ， $c = l o g_{\frac{1}{3}} 5$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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7. 在 $(x + 2)^{5}$ 展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数等于（）

A、100 B、80 C、60 D、40

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8. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%．若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 $y %$ ，且 $y$ 随时间 $t$ (单位：分钟)的变化规律可以用函数 $y = 0.05 + 0.15 e^{- \frac{t}{12}}$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）（参考数据 $l n 3 \approx 1.1$ ）

A、10分钟 B、14分钟 C、15分钟 D、20分钟

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9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、12π B、6π C、 $20 π + 12$ D、 $12 π + 16$

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10. 已知 $\frac{1 - 2 s i n α c o s α}{c o s^{2} α - s i n^{2} α} = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n α$ =（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ 或1 D、 $\frac{1}{2}$ 或1

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $P A = A B = 2 ， B C = 2 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积等于（）

A、 $\frac{20}{3} \sqrt{3} π$ B、 $\frac{20}{3} π$ C、 $\frac{20}{3} \sqrt{5} π$ D、20π

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12. 已知定义在R上的可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，满足 $f^{'} (x) < f (x)$ 且 $f (x + 3)$ 为偶函数， $f (x + 1)$ 为奇函数，若 $f (9) + f (8) = 1$ ，则不等式 $f (x) < e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(6 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， m)$ ，若 $\vec{a} / / (\vec{a} + \vec{b})$ ，则m = ．

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14. 已知 $S_{n}$ 为正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} + a_{2} = 1$ ， $a_{3} + a_{4} = 4$ ，则 $a_{5} + a_{6}$ 等于．

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15. 已知点A、B在双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，且关于直线 $y = x - 6$ 对称，点 $M (2 ， - 4)$ 是线段AB的中点，则双曲线C的离心率等于．

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16. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列关于 $f (x)$ 的结论正确的序号为．
① $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；
② $f (x)$ 的图象向左平移 $θ (θ > 0)$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 图象的一个对称中心是 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ，则 $θ$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ；
③ $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称；
④ 若 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) =$ $\sqrt{3}$ ．

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三、解答题

17. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进10米到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向.

(1)、求点D到塔底B的距离BD；

(2)、若在点C测得塔顶A的仰角为60°，求铁塔高AB.

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18. 2020年的疫情让人刻骨铭心，2021年某地的疫情又出现了反弹，为切实维护广大人民群众生命安全和身体健康，扎实开展疫情防控工作，当地应对新冠肺炎疫情工作领导小组研究决定，除保障防疫工作、医疗服务、城市运行、值班执勤工作外，对全城车辆和行人采取严格的管控措施．该地区要进行全员核酸检测，由于工作量巨大，招募了100名志愿者，记录了这些志愿者的年龄，将志愿者的年龄进行分段统计，并制成频率分布直方图，结果如下图表：
年龄
$[15 ， 25)$
$[25 ， 35)$
$[35 ， 45)$
$[45 ， 55)$
$[55 ， 65]$
志愿者人数
8
$a$
40
$b$
4

(1)、求a，b，并利用所给的频率分布直方图估计所有志愿者的平均年龄（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

(2)、若从年龄在 $[15 ， 25)$ ， $[55 ， 65]$ 的志愿者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在同一年龄组的概率．

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19. 如下图所示，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠BAP =∠CDP =90°．

(1)、证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)、若PA=PD=AB，PA⊥PD，求直线PA与平面PBC所成角的余弦值．

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20. 设函数 $f (x) = [a x^{2} - (4 a + 1) x + 4 a + 3] e^{x}$ ．

(1)、当a =1时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在x =2处取得极小值，求a的取值范围．

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21. 已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，且与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 有相同的焦点．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、若点H的坐标为(2，0)，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ ( $x_{1} \neq x_{2}$ )是椭圆E上的两点，点A，B，H不共线，且∠OHA=∠OHB，证明：直线AB过定点，并求 $△ A B H$ 面积的取值范围．

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22. 以坐标原点 $O$ 为极点､ $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标为方程为 $ρ = \frac{12}{4 c o s α + 3 s i n α}$ ，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s θ \\ y = 1 + s i n θ \end{array}$ .( $θ$ 为参数)

(1)、写出直线 $l$ 和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、在平面直角坐标系中，直线 $l$ 与 $x$ 轴､ $y$ 轴的交点分别为 $A$ ､ $B$ ，点 $P$ 为曲线 $C$ 上任意一点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + 2 | x - 1 |$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、若存在 $x \in [1 ， 2]$ ，使得不等式 $f (x) > 2 x$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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年龄	$[15 ， 25)$	$[25 ， 35)$	$[35 ， 45)$	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65]$
志愿者人数	8	$a$	40	$b$	4