新疆喀什市普通高中2022届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合A={1，2，3}，B={x∈N|x≤2}，则A∪B=（）

A、{2，3} B、{0，1，2，3} C、{1，2} D、{1，2，3}

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2. 已知复数 $z = i + 2 ， i$ 是虚数单位，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、-2 B、1 C、-1 D、2

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3. 设α∈R，则下列结论中错误的是（）

A、 $\sin (π + α) = - \sin α$ B、 $\cos (π - α) = - \cos α$ C、 $\cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α$ D、 $\tan (- α - π) = \tan α$

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4. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则函数 $y = | f (x) |$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (m ， 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $m =$ （）

A、2 B、1 C、4 D、3

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6. 70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的 $q (q > 1)$ 倍，那么训练n天产生的总数据量为（）

A、 $a q^{n - 1}$ B、 $a q^{n}$ C、 $\frac{a (1 - q^{n - 1})}{1 - q}$ D、 $\frac{a (1 - q^{n})}{1 - q}$

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7. 函数 $y = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$

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8. 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱AB，DD₁中点，则异面直线A₁M与C₁N所成的角是（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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9. 已知 $a$ ， $b$ 为两条不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三个不同平面，下列命题：①若 $α // β$ ， $α // γ$ ，则 $β // γ$ ；②若 $a // α$ ， $a // β$ ，则 $α // β$ ；③若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ ；④若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a // b$ .其中正确命题序号为（）

A、②③ B、②③④ C、①④ D、①②③

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10. 关于函数 $f (x) = \sin | x | + | \sin x |$ 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（ $\frac{π}{2}$ , $π$ ）单调递增③f(x)在 $[- π, π]$ 有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）

A、①②④ B、②④ C、①④ D、①③

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11. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，其中 $S_{3} = 6 ， S_{4} = 10$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，且 $b_{n} + a_{n} = b_{n + 1}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $\frac{n^{2} + 2}{2}$ B、 $\frac{n^{2} - n + 2}{2}$ C、 $\frac{n^{2}}{2}$ D、 $\frac{n^{2} + n + 2}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，若关于x的方程 $[f (x)]^{2} + m f (x) + m - 1 = 0$ 恰有3个不同的实数解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(1 - \frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(1 - \frac{1}{e} ， 1)$ D、 $(1 ， e)$

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二、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} - x + 5 \geq 0$ ”的否定是.

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14. 圆心是 $(- 3 ， 4)$ ，半径是5的圆的标准方程为．

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15. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=.

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16. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市.

丙说：我们三个去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为

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三、解答题

17. 设等差数列{ $a_{n}$ }的前n项和为 $S_{n}$ ，且a₄＋a₅＝S₄＝16．
（Ⅰ）求数列{ $a_{n}$ }的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $b_{n}$ ＝ $\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n ＋ 1}}$ ，求{ $b_{n}$ }的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)、用分层抽样的方法从成绩在 $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率.

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19. 已知：如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ，且 $P A = A B = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 中点.

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(3)、求二面角 $E - A C - D$ 的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ .
(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的标准方程；
(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若以 $A B$ 为直径的圆 $D$ 经过坐标原点．证明：圆 $D$ 的半径为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{1}{2} a (x - 1)$ .

(1)、若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) < 0$ 对任意 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知曲线 $C ： {\begin{array}{l} x = 3 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ ，直线 $l ： ρ (c o s θ - 2 s i n θ) = 12$

(1)、将直线 $l$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、设点P 在曲线C 上，求 P点到直线 $l$ 的距离的最小值．

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23. 已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．

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