天津市河西区2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x \in N | x > - 2}$ ，集合 $N = {x | 2 x + 3 < 7}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 ${0 ， 1}$ C、{1} D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. “ $| x | \neq | y |$ ”是“ $x \neq y$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{4 l n | x |}{x}$ 图像是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设 $α$ ， $β$ ， $γ$ 为不重合的平面， $m$ ， $n$ 为不重合的直线，则下列说法正确的序号为（）
① $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ β$ ；② $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ ；③ $α ⊥ β$ ， $α ∩ β = n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$ ；④ $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α ∩ β = m$ ，则 $m ⊥ γ$ .

A、①③ B、②③ C、②④ D、③④

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n - 3}{2 n - 17}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 取得最小值时， $n$ 的值等于（）

A、10 B、9 C、8 D、4

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6. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则向量 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $2 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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7. 设函数 $f (x) = \ln | 2 x + 1 | - \ln | 2 x - 1 |$ ，则f(x)（）

A、是偶函数，且在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 单调递增 B、是奇函数，且在 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 单调递减 C、是偶函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递减

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且与双曲线 $C$ 的一条渐近线垂直的直线 $l$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $M ， N$ 位于 $y$ 轴的同侧，若 $| N F_{1} | = 2 | M F_{1} |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - | 1 - x | ， 0 \leq x \leq 2 \\ 2 f (x - 2) ， x > 2 \end{array}$ ，当 $x \in [0 ， 8]$ 时，函数 $F (x) = f (x) - k x$ 恰有六个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{5} ， 1)$ B、 $(\frac{2}{3} ， \frac{4}{5})$ C、 $[\frac{2}{3} ， \frac{4}{5})$ D、 $[\frac{4}{5} ， 1)$

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二、填空题

10. $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{10 i}{3 - i^{3}} =$ .

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11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，抛物线 $C$ 上一点 $A$ 位于第一象限，且满足 $| A F | = 3$ ，则以点 $A$ 为圆心， $A F$ 为半径的圆的方程为.

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a}{4 b^{2}} + b$ 的最小值为.

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13. 如图所示，某工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为 $2 π$ ，则该球的体积是.

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14. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $4 π$ ，其图象的一条对称轴为 $x = \frac{4 π}{3}$ ，则 $f^{'} (\frac{2 π}{3}) =$ .

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15. 如图所示，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ B = 9 0^{∘}$ ， $| A B | = \sqrt{2}$ ， $| B C | = 2$ ， $| A D | < | B C |$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，若向量 $\vec{C D}$ 在向量 $\vec{C E}$ 上的投影向量的模为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\vec{C E} \cdot \vec{B D} =$ ；设 $M$ 为线段 $C D$ 上的动点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{C M}$ 的最小值为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c o s B = \frac{b + 2 c}{2 a}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设 $b = 2$ ， $c = 3$ .
（i）求 $a$ 的值；
（ii）求 $c o s (2 B - A)$ 的值.

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17. 如图所示，在三棱柱 $A B F - D C E$ 中， $∠ A D E = 90 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = A D = 2 A F = 2$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D E F$ ，点 $G$ 是线段 $A D$ 的中点.

(1)、求证： $F G ⊥$ 平面 $G C E$ ；

(2)、求直线 $B G$ 与平面 $G C E$ 所成角的正弦值.

(3)、若点 $M$ 在线段 $B E$ 上，且 $A F / /$ 平面 $G M C$ ，求点 $M$ 到平面 $G C E$ 的距离.

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $B$ 为上顶点， $| B F_{2} | = \sqrt{2}$ ，原点 $O$ 到直线 $B F_{2}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设斜率不为0的直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ，与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点，若椭圆上一点 $P$ 满足 $\vec{M N} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} \vec{O P}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 6$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 通项公式；

(2)、求 $\sum_{k = 1} a_{k}^{2} \cdot s i n (a_{k} \cdot \frac{π}{2})$ 的值；

(3)、证明 $\sum_{k = 1} \frac{b_{k + 1}}{b_{k}} < 2 n + 2 (n \in N^{*})$

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20. 已知函数 $f (x) = l n x - a x$ （ $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - 2 x + 1$ ，若 $g (x) \leq 0$ 在其定义域内恒成立，求实数 $a$ 的最小值；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = x^{2}$ 恰有两个相异的实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围，并证明 $x_{1} x_{2} > 1$ .

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