天津市河北区2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $M = {1 ， 2} ， N = {3 ， 4}$ ，则 $∁_{U} (M ∪ N) =$ （）

A、{5} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. “x，y为无理数”是“xy为无理数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{1}{3} a b c$ B、 $\frac{1}{6} a b c$ C、 $\frac{1}{12} a b c$ D、 $\frac{1}{24} a b c$

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4. 某公司决定每个月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此该公司随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），并绘制成如图所示的频率分布直方图.根据图中数据，月销售额在 $[14 ， 16)$ 内的频率为（）

A、0.18 B、0.12 C、0.10 D、0.06

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5. 函数 $f (x) = x l n | x |$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ）过点 $(3 ， 2 \sqrt{3})$ ，且渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ ，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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7. 若 $a = l o g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5}$ ， $b = l o g_{2} 4.1$ ， $c = 2^{0.1}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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8. 将函数 $f (x) = s i n x c o s x - c o s^{2} x + \frac{1}{2}$ 的图象向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 是最小正周期为 $2 π$ 的偶函数 B、 $g (x)$ 在 $[π ， 2 π]$ 上单调递减 C、 $g (x)$ 是最小正周期为 $4 π$ 的奇函数 D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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9. 已知函数 $f (x)$ = ${\begin{array}{l} 2^{x} - a (x \leq 1) \\ x^{2} - 3 a x + 4 a (x > 1) \end{array}$ 有三个不同零点，则 $a$ 的范围是（）

A、 $(\frac{16}{9} ， 2)$ B、 $(\frac{16}{9} ， + \infty) ∪ (- \infty ， 0)$ C、 $(\frac{16}{9} ， 2]$ D、 $(\frac{2}{3} ， 2]$

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二、填空题

10. i虚数单位，则 $| \frac{4 i}{1 - i} |$ 的值为.

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11. 二项式 ${(x^{2} + \frac{1}{2 x})}^{6}$ 的展开式中常数项为.

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12. 已知过点 $(2 ， - 4)$ 的直线与圆C： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ 相切，且与直线 $a x - 2 y + 3 = 0$ 垂直，则实数a的值为.

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13. 甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为.

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14. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 4 b - a b = 0$ ，则 $\frac{3}{a + b}$ 的最大值为.

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15. P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，且 $\vec{C P} = \frac{1}{3} \vec{C B}$ ，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的值为.

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三、解答题

16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a s i n B = \sqrt{3} b c o s A$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $c o s B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $s i n (2 B + A)$ 的值；

(3)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求边c和△ABC的面积.

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17. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， E，F分别为 $C C_{1}$ ， $B D_{1}$ 的中点.

(1)、求直线 $B D_{1}$ 与平面BDE所成角的正弦值；

(2)、求平面 $B D_{1} E$ 与平面BDE的夹角的余弦值；

(3)、求点F到平面BDE的距离.

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18. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 的前6项和为126，且 $4 a_{2}$ ， $3 a_{3}$ ， $2 a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (n + 1) a_{n} (n \in N^{*})$ ），求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = c_{n - 1} + l o g_{2} a_{n}$ （ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ），且 $c_{1} = 1$ ，证明 $\frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}} + \frac{1}{c_{3}} + ⋯ + \frac{1}{c_{n}} < 2$ .

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19. 已知圆 $C_{1}$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 25$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，动圆C与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 均内切.

(1)、求动圆圆心C的轨迹E的方程

(2)、点 $P (1 ， t)$ （ $t > 0$ ）为轨迹E上的点，过点P作两条直线与轨迹E交于AB两点，直线PA，PB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = x (1 + l n x)$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(3)、若 $m \in Z$ ， $m (x - 1) < f (x)$ 对任意的 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求m的最大值.

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