天津市部分区2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {- 3 ， 0 ， 2 ， 3}$ ，则 $B \cup (∁_{U} A) =$ （）

A、 ${- 3 ， 3}$ B、 ${0 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 3 ， - 2 ， 0 ， 2 ， 3}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $x < 2$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = e^{| x |} s i n x$ 在区间 $[- 2 π ， 2 π]$ 上的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若棱长分别为 $\sqrt{3}$ ， 2，3的长方体的顶点都在同-球面上，则该球的表面积为（）

A、64π B、16π C、 $\frac{64}{3} π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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5. 设 $a = 2^{0.7}$ ， $b = 0 . 7^{2}$ 、 $c = l o g_{2} 0.7$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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6. 某大品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间 $[5 ， 25]$ （单位：百万元）内，将其分成5组： $[5 ， 9)$ ， $[9 ， 13)$ ， $[13 ， 17)$ ， $[17 ， 21)$ ， $[21 ， 25]$ ，并整理得到如下的频率分布直方图，据此估计其全部销售员工中销售额在区间 $[9 ， 13)$ 内的人数为（）

A、16 B、22 C、64 D、88

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7. 已知直线 $l$ 过双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点，且与双曲线的一条渐近线平行，若 $l$ 过抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，则 $p$ 的值为（）

A、12 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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8. 已知函数 $f (x) = (\sqrt{3} s i n x + c o s x) c o s x$ .给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $f (\frac{π}{6})$ 是 $f (x)$ 的最大值；③把函数 $y = s i n 2 x$ 的图象上所有点向左平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，再向上平移 $\frac{1}{2}$ 个单位长度，可得到 $f (x)$ 的图象.其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、①② C、②③ D、①②③

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9. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 2 ， x \leq a ， \\ x^{2} - 4 a x + 3 ， x > a . \end{array}$ 若 $f (x)$ 恰有2个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1) ∪ [2 ， + \infty)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{7}{8}) ∪ [2 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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二、填空题

10. 设 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{1 - i}{2 + i} =$ .

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11. ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{6}$ 展开式中的常数项是.

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12. 已知直线 $a x - y + 2 = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 相切，则实数 $a$ 的值为.

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13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{1}{b} + \frac{b}{2 a + b}$ 的最小值为.

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14. 盒中装有大小、形状完全相同的2个红球和3个黑球.若从中取2个球，恰好都是黑球的概率是；若每次取1球，取后不放回，直到取出黑球时停止，则取球次数 $X$ 的数学期望 $E (X) =$ .

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = \frac{1}{2}$ ， $∠ C A B = \frac{π}{6}$ ， $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} =$ ；设 $\vec{A C} = m \vec{A B} + n \vec{A D} (m ， n \in R)$ ，则 $m + n =$ .

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $s i n A = \sqrt{3} s i n C$ ， $B = 150 °$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $s i n A$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 A + \frac{π}{6})$ 的值.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C ∥ A D$ ， $A P = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， E为棱CD的中点.

(1)、求直线PD与平面PBE所成角的正弦值；

(2)、M为直线PA上一点，且满足 $D M ∥$ 平面PBE，求线段DM的长.

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $D (0 ， - 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程

(2)、过椭圆右焦点且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $m$ 与椭圆相交于两点A，B，与 $y$ 轴交于点E，线段AB的中点为P，直线 $l$ 过点E且垂直于 $O P$ （其中O为原点），证明直线 $l$ 过定点.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 是公比大于 $n$ 的等比数列，且满足 $b_{1} = a_{3}$ ， $b_{2} + b_{3} = 36$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${\frac{1}{a_{2 n - 1} a_{2 n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，求证 $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{1}{2}$ ；

(3)、对任意的正整数 $n$ ，设数列 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n 为奇数， \\ b_{n} ， n 为偶数 . \end{array}$ 求 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{c_{2 k + 1}}{\sqrt{c_{2 k}}}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a l n x$ ， $a \in R$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(3 ， + \infty)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围：

(3)、若 $a > 0$ ， $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 2$ .

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