四川省宜宾市叙州区2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x = 3 n + 2, n \in Z}, B = {x | - 2 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 1, 2}$ C、{-1} D、{2}

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2. $\frac{5 i}{3 - 4 i} =$ （）

A、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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3. 甲、乙两名同学高三以来6次数学模拟考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为 $\bar{x_{甲}}$ ， $\bar{x_{乙}}$ ，标准差分别为s_甲、s_乙，则（）

A、 $\bar{x_{甲}}$ ＜ $\bar{x_{乙}}$ ， s_甲＜s_乙 B、 $\bar{x_{甲}}$ ＜ $\bar{x_{乙}}$ ， s_甲＞s_乙 C、 $\bar{x_{甲}}$ ＞ $\bar{x_{乙}}$ ， s_甲＜s_乙 D、 $\bar{x_{甲}}$ ＞ $\bar{x_{乙}}$ ， s_甲＞s_乙

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4. 若 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin α - 4 \cos α}{5 \sin α + 2 \cos α}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $- \frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 若 $(2 x - \frac{1}{x^{2}})^{n}$ 的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是（）

A、240 B、－240 C、160 D、－160

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6. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， (\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{a} = 6$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为（）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 设函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ 是定义在R上的奇函数，且 $F (x) = f (x) + 3^{x}$ ，若 $f (1) = 1$ ，则 $F (- 1) =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{7}{3}$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知3名同学各自在“五一”劳动节三天假期中任选一天参加义务劳动，则在前两天中都有同学参加义务劳动的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 前n项的平均数等于 $2 n + 1$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，则数列 ${\frac{16}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}}$ 的前2020项和等于（）

A、 $\frac{2019}{2020}$ B、 $\frac{2020}{2021}$ C、 $\frac{2020}{2019}$ D、 $\frac{2021}{2020}$

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10. 在△ $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $2 b c s i n A = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ， △ $A B C$ 的外接圆半径为 $\sqrt{2}$ ，则a的值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点，点P在C上，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，且 $| O P | = 3 a$ （O为坐标原点），则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{15}}{6} x$

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12. 若对任意的实数 $a$ ，函数 $f (x) = (x - 1) l n x - a x + a + b$ 有两个不同的零点，则实数 $b$ 的取值范围是

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (m ， - 6)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值为.

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15. 数式 $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdot \cdot \cdot}}$ 中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式＝t，则 $1 + \frac{1}{t} = t$ ，则 $t^{2} - t - 1 = 0$ ，取正值得 $t = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ .用类似方法可得 $\sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \cdot \cdot \cdot}}} =$ .

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16. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线与抛物线交于 $A ， B$ 两点，若弦 $A B$ 的垂直平分线经过点 $(0 ， 2)$ ，则 $p$ 等于.

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三、解答题

17. 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩(单位：分)，绘制成如图所示的茎叶图：

(1)、通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好；(不要求计算，分析并给出结论)

(2)、根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
测试成绩(单位：分)
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100)$
等级
合格
中等
良好
优秀
①从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率.
②现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记 $X$ 为抽到高二年级的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $c o s^{2} C + s i n^{2} A - s i n^{2} B = 1 - \sqrt{3} s i n B s i n C$ ，

(1)、求角A的大小

(2)、若 $B = \frac{π}{3}$ ， $a = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁ ， A₁D的中点．

(1)、证明：MN∥平面C₁DE；

(2)、求二面角A-MA₁-N的正弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $M$ ，直线 $F M$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且原点到直线 $F M$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若不经过点 $F$ 的直线 $l ： y = k x + m (k < 0 ， m > 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切.试探究△ $A B F$ 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数f(x）=xlnx，g(x)= $\frac{- x^{2} + a x - 3}{2}$ ，

(1)、求f(x)的最小值；

(2)、对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) \geq g (x)$ 都有恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、证明：对一切 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $l n x > \frac{1}{e^{x}} - \frac{2}{e x}$ 成立．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1 + c o s α ， s i n α)$ ，参数 $α \in [0 ， π]$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ，且过定点 $A (- 1 ， 0)$ ．

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $l$ 上有一点 $Q$ ，求 $| P Q |$ 的最小值．

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23. 设函数 $f (x) = | x + 1 | - 2 | x - 2 |$ 的最大值为 $t$ .

(1)、解不等式 $f (x) \geq 2$ ；

(2)、若 $2 a^{2} + 5 b^{2} + 3 c^{2} = t$ ，求 $2 a b + 3 b c$ 的最大值.

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测试成绩(单位：分)	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100)$
等级	合格	中等	良好	优秀