四川省泸州市泸县2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $z (1 - i) = 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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2. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）
整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图

A、互联网行业从业人员中90后占一半以上 B、互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 C、互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多 D、互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%

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3. 若双曲线 $m x^{2} - y^{2} = 1 (m > 0)$ 的离心率为 $2$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ 或3 D、3

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4. 若 $(1 + a x) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项与 $x^{3}$ 项的系数和为-10，则实数 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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5. 已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点 $(s i n 3 0^{°} ， t a n 13 5^{°})$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 函数 $f (x) = x l n | x | + \frac{2}{x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = 2 e \cdot f^{'} (e) \cdot l n x - \frac{x}{e}$ （ $e$ 是自然对数的底数），则 $f (e)$ 等于（）

A、 $e - 1$ B、 $\frac{2}{e} - 1$ C、1 D、 $\frac{1}{e} - 1$

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8. 设函数 $f (x) = 3 s i n (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ 与函数 $g (x) = 2 c o s (3 x + φ) (| φ | ⩽ \frac{π}{3})$ 的对称轴完全相同，则 $φ$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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9. 已知菱形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $A O$ 的中点，若 $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{D E} =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{7}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……， $n^{2}$ 这 $n^{2}$ 个数填入 $n \times n$ 方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫 $n$ 阶幻方．定义 $f (n)$ 为 $n$ 阶幻方对角线上所有数的和，如 $f (3) = 15$ ，则 $f (10) =$ （）

A、55 B、500 C、505 D、5050

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11. 如图，平面四边形 $A C B D$ 中， $A B ⊥ B C ， A B = \sqrt{3} ， B C = 2 ， △ A B D$ 为等边三角形，现将 $△ A B D$ 沿 $A B$ 翻折，使点 $D$ 移动至点 $P$ ，且 $P B ⊥ B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、8π B、6π C、4π D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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12. 若 $2^{a + 1} = 3 ， 2^{b} = \frac{8}{3} ，$ 则下列结论正确的有（）
① $b - a < 1$ ② $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 2$ ③ $a b > \frac{3}{4}$ ④ $b^{2} > 2 a$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x \leq y \\ x + 2 \geq 2 y \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为.

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14. 曲线 $f (x) = x e^{x}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距是.

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15. 不等式 $\sin 2 x + \cos 2 x > 1$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的解集为．

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16. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y ，$ $A B$ 为过焦点 $F$ 的弦，过 $A ， B$ 分别作抛物线的切线，两切线交于点 $P$ ，设 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) ， P (x_{0} ， y_{0})$ ，则下列结论正确的有．
①若直线 $A B$ 的斜率为-1，则弦 $| A B | = 8$ ；

②若直线 $A B$ 的斜率为-1，则 $x_{0} = 2$ ；

③点 $P$ 恒在平行于 $x$ 轴的直线 $y = - 1$ 上；

④若点 $M (x_{M} ， y_{M})$ 是弦 $A B$ 的中点，则 $x_{M} = x_{0}$ ．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a + 2 b = 2 c (1 - 2 c o s^{2} \frac{B + C}{2})$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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18. 某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：

满意
不满意
男
40
40
女
80
40
附表及公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？

(2)、为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：
支付方式
现金支付
购物卡支付
APP支付
频率
10%
30%
60%
优惠方式
按9折支付
按8折支付
其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾客按8折支付
将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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19. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱与底面垂直，且 $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ 、 $N$ 分别是 $C C_{1}$ 、 $B C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{P B_{1}}$ .

(1)、求证：不论 $λ$ 取何值，总有 $A M ⊥ P N$ ；

(2)、当 $λ = 1$ 时，求平面 $P M N$ 与平面 $A B C$ 所成二面角的余弦值.

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20. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的两个动点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，焦点为F，线段 $A B$ 的中点为 $M (3 ， y_{0})$ ，且点 $A 、 B$ 到抛物线的焦点F的距离之和为8

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、若线段 $A B$ 的垂直平分线与x轴交于点C，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x - \frac{1}{2} a x^{2} - x + 3 a^{3} - 4 a^{2} - a + 2 (a \in R)$ 存在两个极值点．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设x₁和x₂分别是f（x）的两个极值点且x₁＜x₂ ，证明： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + \sqrt{3} c o s α \\ y = \sqrt{3} s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），直线 $l$ 的方程为 $y = k x$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、曲线 $C$ 与直线 $l$ 交于 $A, B$ 两点，若 $| O A | + | O B | = 2 \sqrt{3}$ ，求 $k$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | (a \in R)$

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq | 2 x + 1 |$ 的解集为 $[- 3 ， \frac{1}{3}]$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) - | x + a | \leq a^{2} - 2 a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

支付方式	现金支付	购物卡支付	APP支付
频率	10%	30%	60%
优惠方式	按9折支付	按8折支付	其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾客按8折支付

	满意	不满意
男	40	40
女	80	40