四川省泸州市江阳区2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ，集合 $B$ 为整数集，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，设 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z} + 2$ 对应的点位于复平面（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. (x+1)¹⁰的展开式中第6项的系数是（）

A、 $C_{10}^{6}$ B、－ $C_{10}^{6}$ C、 $C_{10}^{5}$ D、－ $C_{10}^{5}$

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4. 2019年1月1日，济南轨道交通 $1$ 号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动.市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x \cos x}{2^{x} + 2^{- x}}$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 离散型随机变量 $X$ 服从二项分布 $X \sim B (n ， p)$ ，且 $E (X) = 4$ ， $D (X) = 3$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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7. 已知 $c o s (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $s i n (\frac{4 π}{3} + α) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出 $S$ 的值为（）

A、 $\frac{2020}{2019}$ B、 $\frac{2021}{2020}$ C、 $\frac{2019}{2020}$ D、 $\frac{2020}{2021}$

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9. 受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）

A、240种 B、120种 C、188种 D、156种

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10. 设 $a = \log_{2019} \sqrt{2020,} b = \log_{2020} \sqrt{2019},$ $c = 2019^{\frac{1}{2000}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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11. 若函数 $f (x) = \ln \frac{1 - x}{1 + x} - x$ ，且 $f (2 a) + f (a - 1) > 0$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ B、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ C、 $(0, \frac{1}{3})$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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12. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 是坐标原点，过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ .若 $| P F_{1} | = \sqrt{13} | P F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 已知变量 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + 3 \geq 0 \\ x - y + 4 \geq 0 \\ 2 x + y - 4 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最大值为.

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14. 已知 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 的内角分别是 A ，B ，C，若 $(s i n^{2} A + s i n^{2} C - s i n^{2} B)$ $t a n B$ = $s i n A \cdot s i n C$ ，则角B = ．

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15. 若函数 $y = f (x)$ 与 $y = 5^{x}$ 互为反函数，则 $y = f (x^{2} - 2 x)$ 的单调递减区间是.

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且 $f (- x) - f (x) = 0$ ；其导函数为 $f^{'} (x)$ .若 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) < 2 x$ ，则不等式 $f (2 x) - f (x - 1) > 3 x^{2} + 2 x - 1$ 的解集是.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 3 a_{3} ， a_{4} + a_{6} = 8$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = 2^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位．如表截取了 $2012 - 2016$ 年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）．
年份
2012
2013
2014
2015
2016
年份代码
1
2
3
4
5
高铁密度
9.75
11.49
17.14
20.66
22.92
已知高铁密度 $y$ 与年份代码 $x$ 之间满足关系式 $y = a x^{b}$ （ $a ， b$ 为大于0的常数）．
参考公式：设具有线性相关系的两个变量 $x ， y$ 的一组数据为 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，则回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的系数： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} l n x_{i} \cdot l n y_{i} - 5 \bar{l n x} \cdot \bar{l n y} \approx 0.92$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(l n x_{i})}^{2} - 5 {(\bar{l n x})}^{2} \approx 1.6$ ， $\sum_{i = 1}^{5} l n x_{i} \approx 5$ ， $\sum_{i = 1}^{5} l n y_{i} \approx 14$ ， $e^{2.1} \approx 8.2$ ， $l n 32 \approx 3.46$ ．

(1)、根据所给数据，求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程（精确到0.1位）；

(2)、利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过32千米/万平方千米．

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19. 如图，已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的正方形， $E$ ， $F$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A B$ 的中点．

(1)、求证：直线 $D_{1} E$ ， $C F$ ， $D A$ 交于一点；

(2)、若直线 $D_{1} E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求二面角 $E - C D_{1} - B$ 的余弦值．

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20. 设抛物线C：y²＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，∠EAB＝90°.

(1)、求p的值；

(2)、已知点P的纵坐标为－1且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的另两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为－1，试问直线QR是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x l n x + a x$ ， $f^{^{'}} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数，函数 $f^{^{'}} (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最小值．

(1)、求证： $l n x_{0} + x_{0} = 0$ ；

(2)、若 $x ⩾ x_{0}$ 时， $f (x) ⩾ 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s φ \\ y = s i n φ \end{array} (φ$ 为参数），在以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、若射线 $θ = α (0 < α < \frac{π}{2})$ 与曲线 $C$ 交于点 $A$ （不同于极点 $O$ ），与直线 $l$ 交于点 $B$ ，求 $\frac{| O A |}{| O B |}$ 的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | (a \in R)$

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq | 2 x + 1 |$ 的解集为 $[- 3 ， \frac{1}{3}]$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) - | x + a | \leq a^{2} - 2 a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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年份	2012	2013	2014	2015	2016
年份代码	1	2	3	4	5
高铁密度	9.75	11.49	17.14	20.66	22.92