山西省太原市2022届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{1 + 2 i + i^{3}}{2 - i} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{1}{3} - i$ D、 $\frac{1}{3} + i$

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2. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 3 x}$ 的定义域为 $A$ ，集合 $B = {x | - 1 < x < 5}$ ，则集合 $A ∩ B$ 中整数的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 设 $α ， β$ 为两个不同的平面，则 $α$ $∥$ $β$ 的充要条件是（）

A、 $α$ 内有无数条直线与 $β$ 平行 B、 $α ， β$ 垂直于同一平面 C、 $α ， β$ 平行于同一条直线 D、 $α$ 内的任何直线都与 $β$ 平行

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4. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 8 ， a_{2} + a_{4} = 20$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = 2^{n}$ B、 $a_{n} = \frac{1}{2^{n - 6}}$ C、 $a_{n} = 2^{n}$ 或 $\frac{1}{2^{n - 6}}$ D、 $a_{n} = 2^{n + 1}$ 或 $\frac{1}{2^{n - 5}}$

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5. 已知 $a = l n 4 ， b = l o g_{3} e ， c = l o g_{3} 4$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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6. 从1到10这十个数中任取三个，这三个数的和为奇数的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知函数 $y = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则函数的表达式是（）

A、 $y = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$

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8. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} | = 2 ， | \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} | = 1$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是上底为2，下底为4，底角为 $\frac{π}{3}$ 的等腰梯形，则该几何体的体积为（）

A、 $28 \sqrt{3}$ B、 $\frac{28 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{20 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{56}{3}$

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10. 已知 $a ， b$ 为正实数， $a + b = 3$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、4

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x + 1)$ 是偶函数， $f (x - 1)$ 是奇函数，则下列命题正确的个数是（）
① $f (x) = f (x - 16)$ ；② $f (11) = 0$ ；③ $f (2022) = - f (0)$ ；④ $f (2021) = f (- 3)$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 下列四个命题中，正确的是（）

A、 $\forall x \in R ， e^{x} > x + 1$ B、 $f (x) = | s i n x | + | c o s x |$ 的最小正周期为 $π$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} + 2 x + e^{| x + 1 |} < 0$ D、点 $A$ 和点 $B$ 分别在函数 $y = l n x$ 和 $y = e^{x}$ 的图象上，则 $A ， B$ 两点距离的最小值为 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. $(1 + x) (1 - 2 x)^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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14. 已知 $α$ 为锐角， $s i n (α - \frac{π}{12}) = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{6}) =$ .

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15. 已知四面体 $A B C D$ 中， $A B = 3 \sqrt{3}$ ，其余各棱长均为6，则四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为.

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16. 函数 $f (x) = a s i n (\frac{π}{6} x - \frac{π}{3}) - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + \frac{2}{3} (a > 0)$ 恰好有三个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的值为.

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三、解答题

17. 已知 $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边， $a = 2$ ，且 $c^{2} = b^{2} - 2 b + 4$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $A = 4 5^{∘}$ ，求边 $b$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， n a_{n + 1} - n (n + 1) = 2 (n + 1) (a_{n} - n) (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{n} - 1}$ 为等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 2022年2月4日，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下：

喜欢
不喜欢
男生
50
10
女生
30
20
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$
0.025
0.01
0.005
$k_{0}$
5.024
6.635
7.879

(1)、根据上表说明，能否有99%的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？

(2)、现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加2022年北京冬奥会志愿者服务前期集训，且这8人经过集训全部成为合格的冬奥会志愿者.若从这8人中随机选取3人到场馆参加志愿者服务，设选取的3人中女生人数为 $X$ ，写出 $X$ 的分布列，并求 $E (X)$ .

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20. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $C D ⊥$ 平面 $P A D ， △ P A D$ 为等边三角形， $A B$ $∥$ $C D ， 2 A B = C D$ ， $M$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $B M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $A B = A D = 2$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $B D M$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - x^{2} ， g (x) = x e^{x - 1} + \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x > 0 ， g (x) \geq a f (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s α ， \\ y = 1 + t s i n α \end{array}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ c o s^{2} θ = 4 s i n θ$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、已知直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $M (0 ， 1)$ ，求证： $\frac{1}{| M A |} + \frac{1}{| M B |}$ 为定值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 2 | - x ， g (x) = | x - a | (a \in R)$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、若存在 $x \in R$ 使 $f (x) \leq g (x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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	喜欢	不喜欢
男生	50	10
女生	30	20

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.025	0.01	0.005
$k_{0}$	5.024	6.635	7.879