山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[- 2 ， 4]$ B、 $[- 4 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 4) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (4 ， + \infty)$

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2. 如图，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，点P是角α终边上的一点，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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3. 2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占 $\frac{3}{5}$ ，澳门课堂女生占 $\frac{1}{3}$ ，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{8}$

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4. “ $0 < x < \frac{π}{4}$ ”是“ $0 < s i n x < \frac{π}{4}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 如图，某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成，所有密码中，恰有三个重复数字的密码个数为（）

A、90 B、324 C、360 D、400

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6. 已知 $2^{a} = l o g_{\frac{1}{2}} a$ ， $3^{b} = l o g_{\frac{1}{2}} b$ ， ${(\frac{1}{3})}^{c} = l o g_{2} c$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时， $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、[0，1] B、 $[0 ， \sqrt{2}]$ C、[1，2] D、 $[- 1 ， 1]$

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8. 斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列 ${a_{n}}$ 可以用如下方法定义： $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ ， $a_{1} = a_{2} = 1$ ，则 $\frac{\sum_{i = 1}^{2022} a_{i}^{2}}{a_{2022}} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 2022)$ 是数列 ${a_{n}}$ 的第几项？（）

A、2020 B、2021 C、2022 D、2023

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二、多选题

9. 已双曲线C： $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = λ (λ < 0)$ ，则（）

A、双曲线C的实轴长为定值 B、双曲线C的焦点在y轴上 C、双曲线C的离心率为定值 D、双曲线C的渐进线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为R B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在定义域上是减函数 D、 $f (x)$ 无最小值，无最大值

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，现有如下四个命题：
甲：该函数的最小值为 $- \sqrt{2}$ ；
乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；
丙：该函数的一个零点为 $\frac{2 π}{3}$ ；
丁：该函数图象可以由 $y = s i n 2 x + c o s 2 x$ 的图像平移得到．
如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是（）

A、乙一定是假命题． B、φ的值可唯一确定 C、函数f（x）的极大值点为 $k π + \frac{π}{6} (k \in Z)$ D、函数f（x）图像可以由 $y = c o s (x - \frac{π}{6})$ 图像伸缩变换得到

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12. 如图，ABCD是边长为5的正方形，半圆面APD⊥平面ABCD．点P为半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上一动点（点P与点A，D不重合）．下列说法正确的是（）

A、三棱锥P－ABD的四个面都是直角三角形 B、三棱锥P一ABD体积的最大值为 $\frac{125}{4}$ C、异面直线PA与BC的距离为定值 D、当直线PB与平面ABCD所成角最大时，平面PAB截四棱锥P－ABCD外接球的截面面积为 $\frac{25 (3 - \sqrt{2}) π}{4}$

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三、填空题

13. 复数z满足 $z i = 2 - i$ （其中i为虚数单位），则 $| z | =$ ．

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14. 已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为．

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15. 过直线 $x - y - 4 = 0$ 上一点P（点P不在x轴上）作抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的两条切线，两条切线分别交x轴于点G，H，则 $△ G H P$ 外接圆面积的最小值为．

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16. 单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：

分站	运动员甲的三次滑行成绩			运动员乙的三次滑行成绩
分站	第1次	第2次	第3次	第1次	第2次	第3次
第1站	80.20	86.20	84.03	80.11	88.40	0
第2站	92.80	82.13	86.31	79.32	81.22	88.60
第3站	79.10	0	87.50	89.10	75.36	87.10
第4站	84.02	89.50	86.71	75.13	88.20	81.01
第5站	80.02	79.36	86.00	85.40	87.04	87.70

假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐运动员参加，理由是．

附：方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{n}$ 的平均数．

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四、解答题

17. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{2}^{2} = a_{1} a_{13}$ ， $a_{3} + a_{6} + a_{9} = 153$ ．记 $b_{n} = [l g a_{n}]$ ，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 前101项和．

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18. 已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 6$ ，且 $s i n B + s i n C = 2 \sqrt{6} s i n B \cdot s i n C$ ．

(1)、证明： $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：
38，70，50，43，48，53，49，57，60，69．
经计算知上述样本质量指标平均数为53.7，标准差为9.9．生产合同中规定：所有农产品优质品的占比不得低于15%（已知质量指标在63分以上的产品为优质品）．
附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ．

(1)、从这10件农产品中有放回地连续取两次，记两次取出优质品的件数为X，求X的分布列和数学期望．

(2)、根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中μ近似为样本质量指标平均数， $σ^{2}$ 近似为方差，那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由．

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20. 如图，在四棱锥P－ABCD中， $A C ∩ B D = O$ ，底面四边形ABCD为菱形， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，异面直线PD与AB所成的角为60°．试在①PA⊥BD，②PC⊥AB，③ $P A = P C$ 三个条件中选两个条件，使得PO⊥平面ABCD成立，请说明选择理由，并求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = a (\frac{1}{2} x^{2} + x) + (x^{2} + 3 x + 3) e^{- x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点（0，f（0））处的切线方程；

(2)、若函数f（x）有三个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ ．证明： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + 2 x_{3} > 0$ ．

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22. 已知 $A_{1} (- 2 ， 0)$ ， $A_{2} (2 ， 0)$ 分别为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，点 $H (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆上．过点 $D (\frac{1}{2} ， 0)$ 的直线交椭圆于两点P，Q（P，Q与顶点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 不重合），且直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ ， $A_{1} Q$ 与 $A_{2} P$ 分别交于点M，N．

(1)、求椭圆C的方程

(2)、设直线 $A_{1} P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A_{1} Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ．
①证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；
②求 $△ D M N$ 面积的最小值．

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