山东省聊城市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 2^{x} \geq 4}$ ，集合 $B = {x | - 1 \leq x \leq 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 2 \leq x \leq 5}$ C、 ${x | x \geq - 1}$ D、 ${x | x \geq 2}$

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2. 复数 $z = \frac{2}{i + 1}$ （i为虚数单位）的虚部是（）

A、-1 B、1 C、-i D、i

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3. ${(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、40 B、-40 C、80 D、-80

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4. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则“ $f (x)$ 是偶函数”是“ $| f (x) |$ 是偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 s i n (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 m x - m^{2} ， x ⩽ m ， \\ | x - m | ， x > m ， \end{array}$ 若 $f (a^{2} - 4) > f (3 a)$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 4)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (4 ， + \infty)$ C、 $(- 4 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 4) ∪ (1 ， + \infty)$

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7. 酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（）

A、甲地，均值为4，中位数为5 B、乙地：众数为3，中位数为2 C、丙地：均值为7，方差为2 D、丁地：极差为 $3$ ， $75 %$ 分位数为8

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分別是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A B ⊥ F_{1} F_{2}$ ，现将平面 $A F_{1} F_{2}$ 沿 $F_{1} F_{2}$ 所在直线折起，点 $A$ 到达点 $P$ 处，使平面 $P F_{1} F_{2} ⊥$ 平面 $B F_{1} F_{2}$ .若 $c o s ∠ P F_{2} B = \frac{5}{9}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、多选题

9. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 \sqrt{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 16$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2$ C、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为30° D、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$

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10. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a > b > c > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{a (c - a)} < \frac{1}{b (c - a)}$ B、 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$ C、 $a b + c^{2} > a c + b c$ D、 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ 的最小值为4

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11. 在平面直角坐标系内，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C$ 是平面内一动点，则下列条件中使得点 $C$ 的轨迹为圆的有（）

A、 $| \vec{A C} | = | \vec{B C} |$ B、 $| \vec{A C} | = 2 | \vec{B C} |$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 0$ D、 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 2$

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ （不含边界）内的动点， $Q$ 为线段 $A_{1} C$ 上的动点，若直线 $A_{1} P$ 与 $A_{1} B_{1}$ 的夹角为 $4 5^{∘}$ ，则下列说法正确的是（）

A、线段 $A_{1} P$ 的长度为 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} A_{1} Q + P Q$ 的最小值为1 C、对任意点 $P$ ，总存在点 $Q$ ，便得 $D_{1} Q ⊥ C P$ D、存在点 $P$ ，使得直线 $A_{1} P$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成的角为60°

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三、填空题

13. 经过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B |$ 的最小值为.

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14. 已知 $α \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，且 $s i n α + c o s α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $t a n α$ 的值为.

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15. 甲乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球；抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球.则摸到红球的概率为.

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16. 某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列 $1 ， 2 ， 2$ ；第三行得到数列 $1 ， 2 ， 2 ， 4 ， 2 ， ⋯ ⋯$ ，则第5行从左数起第6个数的值为.用 $A_{n}$ 表示第 $n$ 行所有项的乘积，若数列 ${B_{n}}$ 满足 $B_{n} = l o g_{2} A_{n}$ ，则数列 ${B_{n}}$ 的通项公式为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ .中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{2 b - c}{a} = \frac{c o s C}{c o s A}$ ， $a = 3$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，求 $△ B C D$ 面积的最大值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 2} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 3$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ .

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{30}$ .

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19. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点， $G$ 为棱 $D D_{1}$ 上的动点.

(1)、求证： $B$ ， $E$ ， $D_{1}$ ， $F$ 四点共面；

(2)、是否存在点 $G$ ，使得平面 $G E F ⊥$ 平面 $B E F$ ？若存在，求出 $D G$ 的长度；若不存在，说明理由.

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20. 某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的 $\frac{3}{7}$ ；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占 $\frac{1}{5}$ .
附：
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
$x_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、请根据以上数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族存关联？

满意
不满意
合计
上班族
非上班族
合计

(2)、为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查.规定：抽样的次数不超过 $n (n \in N_{+})$ ，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到 $n$ 时，抽样结束.
（i）若 $n = 5$ ，写出 $X_{5}$ 的分布列和数学期望；
（ii）请写出 $X_{n}$ 的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明 $X_{n}$ 的数学期望的实际意义.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x + 1} + (1 - a) x + b$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = e x$ ，求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) ⩾ 0$ 恒成立，求 $\frac{b}{a}$ 的最小值.

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22. 已知 $P$ 为圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 15 = 0$ 上一动点，点 $N (- 1 ， 0)$ ，线段 $P N$ 的垂直平分线交线段 $P M$ 于点 $Q$ .

(1)、求点 $Q$ 的轨迹方程；

(2)、设点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过点 $N$ 作曲线 $C$ 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点 $E ， F$ ，过点 $N$ 作直线 $E F$ 的垂线，垂足为点 $H$ ，是否存在定点 $G$ ，使得 $G H$ 为定值？若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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$α$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
$x_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	满意	不满意	合计
上班族
非上班族
合计