山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x > 4}$ ， $N = {x | x^{2} > 4}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M \subseteq ∁_{R} N$ D、 $N \subseteq ∁_{R} M$

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2. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 1 ， 2)$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1 (m > 0)$ 的一个焦点为 $F (3 ， 0)$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2} + | x | - 2}$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设坐标原点为 $O$ ，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 与过焦点的直线交于A、B两点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、3 D、-3

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6. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3， $A_{1}$ 在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与 $C C_{1}$ 所成的角的为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 设函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域分别为F，G，且 $F \subseteq G$ .若对任意的 $x \in F$ ，都有 $g (x) = f (x)$ ，则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 在G上的一个“延拓函数”.已知函数 $f (x) = e^{x} (x \leq 0)$ ，若 $g (x)$ 为 $f (x)$ 在 $R$ 上的一个延拓函数，且 $g (x)$ 是偶函数，则函数 $g (x)$ 的解析式是（）

A、 $e^{| x |}$ B、 $l n | x |$ C、 $e^{- | x |}$ D、 $- l n | x |$

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8. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ，点 $B (- 1 ， 1)$ ，点 $C (3 ， 5)$ ，过其“欧拉线”上一点Р作圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为M，N，则 $| M N |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 设m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，且直线 $m \subset$ 平面 $α$ ，直线 $n \subset$ 平面 $β$ ，下列命题为真命题的是（）

A、“ $α ∥ β$ ”是“ $m ∥ β$ ”的充分条件 B、“ $m ∥ n$ ”是“ $m ∥ β$ ”的必要条件 C、“ $n ⊥ α$ ”是“ $m ⊥ n$ ”的充要条件 D、“ $m ⊥ n$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的既不充分也不必要条件

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10. 已知曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1 (m \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $2 < m < 4$ ，则曲线 $C$ 为椭圆 B、若 $m > 4$ ，则曲线 $C$ 为焦点在 $y$ 轴上的双曲线 C、若曲线 $C$ 为双曲线，则其焦距是定值 D、若曲线 $C$ 为焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则其离心率小于 $\sqrt{2}$

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11. 设 $m \neq 0$ ，若 $x = - m$ 为函数 $f (x) = - m {(x + m)}^{2} (x + n)$ 的极大值点，则下列关系中可能成立的有（）

A、m=n B、 $n > m > 0$ C、 $n < m < 0$ D、 $m > n > 0$

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12. 函数 $f (x) = \frac{b}{| x | - a} (a > 0 ， b > 0)$ 的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当 $a = 1$ ， $b = 1$ 时，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、当 $x \in (- 1 ， 1)$ 时， $f (x)$ 的最大值为－1 C、函数 $f (x)$ 的“囧点”与函数 $y = l n x$ 图象上的点的最短距离为 $\sqrt{2}$ D、函数 $f (x)$ 的所有“囧圆”中，面积的最小值为3π

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三、填空题

13. 已知边长为1的正六边形ABCDEF，中心为 $O$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} =$ .

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14. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为2的等比数列， $S_{n}$ 是其前n项和，且 $9 S_{3} = S_{6}$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前5项和为.

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15. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若将 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x) =$ .

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16. 如图，等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体 $A - B C D$ 的侧棱， $A B = 2$ ，直角边AE绕斜边AB旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥 $E - B C D$ 体积的取值范围是.

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四、解答题

17. 在① $\sqrt{3} a c o s \frac{A + B}{2} = c s i n A$ ， ② $\sqrt{3} a = \sqrt{3} c c o s B + b s i n C$ ， ③ $c o s^{2} A - c o s^{2} C = s i n^{2} B - s i n A s i n B$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别是a，b，c， $c = \sqrt{3}$ ， __________，求 $a + 2 b$ 的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使得包括 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 在内的这 $n + 2$ 个数成等差数列，设其公差为 $d_{n}$ ，求 ${\frac{1}{d_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 设函数 $f (x) = x^{2} + c o s^{2} x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的最大值和最小值.

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $A C = 2$ ， $P A = P C = \sqrt{5}$ ， O为AC的中点，M为 $△ P B C$ 内部或边界上的动点，且 $O M ∥$ 平面 $P A B$ .

(1)、证明： $P B ⊥ A C$ .

(2)、设直线PM与平面ABC所成角为 $θ$ ，求 $s i n θ$ 的最小值.

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21. 已知 $R t △ A B C$ 中， $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $∠ C A B = 90 °$ ， $A C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，曲线E过C点，动点Р在E上运动，且保持 $| P A | + | P B |$ 的值不变.

(1)、求曲线E的方程；

(2)、过点 $(1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于M，N两点，则在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $\vec{Q M} \cdot \vec{Q N}$ 的值为定值？若存在，求出点 $Q$ 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{1}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq x - \frac{2}{e}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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