青海省西宁市三县2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x + 3 > 9}$ ， $B = {x \in N | - x + 1 > - 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(3 ， 6)$ B、 ${3 ， 4 ， 5}$ C、 ${4 ， 5}$ D、 $(4 ， 5)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $i z = 3 + i$ ，则 $| z + 1 | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率为3，则m=（）

A、3 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、1

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4. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + y + 1 \geq 0 ， \\ 2 x - y - 1 \leq 0 ， \\ x - 2 y + 4 \geq 0 ， \end{array}$ 则目标函数 $z = 3 x - y$ 的最大值为（）

A、﹣7 B、1 C、3 D、5

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5. “ $m > 6$ ”是“方程 $x^{2} + y^{2} - m x + 4 y + m + 7 = 0$ 是圆的方程”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $a = 2^{- 1.01}$ ， $b = 1 . 2^{0.1}$ ， $c = l o g_{4} 3$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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7. 一个几何体的三视图如图所示，其表面积为 $5 π + \sqrt{2} π$ ，则该几何体的体积为（）

A、2π B、 $\frac{7}{3} π$ C、 $\frac{11}{3} π$ D、 $\frac{17}{6} π$

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8. 若要得到函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，只需将函数 $g (x) = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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9. 已知 $e$ 是自然对数的底数，函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $\frac{f (x)}{x} + l n x \cdot f^{'} (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{e}) + f (e) > 0$ B、 $f (\frac{1}{e}) < 0$ C、 $f (e) < 0$ D、 $f (1) = 0$

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10. 2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有（）

A、144种 B、336种 C、672种 D、1008种

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11. 如图，P是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 第一象限上一点，A，B，C是椭圆与坐标轴的交点，O为坐标原点，过A作AN平行于直线BP交y轴于N，直线CP交x轴于M，直线BP交x轴于E.现有下列三个式子：① $| O E | \cdot | O N |$ ；② $| O E | \cdot | O M |$ ；③ $\frac{| O N |}{| O M |}$ .其中为定值的所有编号是（）

A、①③ B、②③ C、①② D、①②③

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x > 0 ， \\ - x^{2} - 4 x - 3 ， x \leq 0 \end{array}$ 若函数 $y = {[f (x)]}^{2} + m f (x) + 1$ 有6个零点，则m的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， \frac{10}{3})$ B、 $(- 2 ， \frac{10}{3}]$ C、 $(2 ， \frac{10}{3})$ D、 $(2 ， \frac{10}{3}]$

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二、填空题

13. ${(x - 2)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是.

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $(k \vec{a} - 4 \vec{b}) / / (\vec{a} - k \vec{b})$ ，则 $k =$ .

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15. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = ∠ C B A = 45 °$ ， $A D = 2$ ， $D C = \sqrt{13}$ ， $C B = 1$ ，则 $c o s ∠ A D C =$ .

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $A C = \sqrt{7}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{5} = 30$ ， $S_{3} = 57$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值.

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18. 如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有 $N_{1}$ ， $N_{2}$ ， $N_{3}$ ， $N_{4}$ ，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，南干道有 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．

(1)、求北干道的 $N_{1}$ ， $N_{2}$ ， $N_{3}$ ， $N_{4}$ 个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率；

(2)、若南干道被堵塞路段的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，平面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $B C = 2 ， A B = 4 ， B D = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ P D$ .

(2)、若 $P C = P D = \sqrt{13}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $l ： x + k y - 1 = 0$ 交于P，Q两点，O为坐标原点， $O P ⊥ O Q$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若 $△ P O Q$ 的面积为 $\sqrt{5}$ ，求直线l的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} + x$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq (x + 1) l n (x + 1) - a x^{2} - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s φ ， \\ y = 1 + s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 8 - 2 t \\ y = t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $θ = \frac{π}{4} (ρ > 0)$ 与曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 分别交于A，B两点，已知点 $M (2 ， 0)$ ，求 $△ M A B$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + x$ .

(1)、求不等式 $f (x) < 1$ 的解集；

(2)、已知 $a ∈ [- 1 ， 2]$ ，证明 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{4 - 2 a} \leq 2 f (x) + 4$ .

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