青海省西宁市2021-2022学年高三上学期理数期末联考试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1, 1, 2, 3, 5}, B = {2, 3, 4}, C = {x \in R | 1 ⩽ x < 3}$ ，则 $(A \cap C) \cup B =$ （）

A、{2} B、{2，3} C、{-1，2，3} D、{1，2，3，4}

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2. 已知 $\overset{⇀}{A B}$ =(2，3)， $\overset{⇀}{A C}$ =(3，t)， $| \overset{⇀}{B C} |$ =1，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C}$ =（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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3. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- x ， - 6)$ ，且 $c o s α = - \frac{5}{13}$ ，则 $\frac{1}{s i n α} + \frac{1}{t a n α} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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4. 曲线 $y = 1 - \frac{2}{x + 2}$ 在点 $(- 1 ， - 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = - 2 x - 3$ D、 $y = - 2 x - 2$

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5. 在各项均为正数的等比数列 ${ b_{n}} $ 中，若 $ b_{5} = 2$ ，则 $ l o g_{\frac{1}{2}} b_{1} + l o g_{\frac{1}{2}} b_{2} + ⋯ + l o g_{\frac{1}{2}} b_{9}$ 等于（）

A、5 B、-5 C、9 D、-9

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6. 我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $α$ ， $β$ 为两个平面，则 $α / / β$ 的充要条件是（）

A、 $α$ 内有无数条直线与 $β$ 平行 B、 $α$ 内有两条相交直线与 $β$ 平行 C、 $α$ ， $β$ 平行于同一条直线 D、 $α$ ， $β$ 垂直于同一平面

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8. 设 $a = 2^{0.3}$ ， $b = l o g_{2} 1.5$ ， $c = l n 0.7$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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9. 下列命题中为真命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $- 1 < s i n x < 1$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} < 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $t a n x_{0} = 2$

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10. 函数 $y = \ln | x | - x^{2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) + 1$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的单调递减区间为 $[- 2 π + 3 k π ， - \frac{π}{2} + 3 k π] ， k \in Z$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $2 s i n (\frac{2}{3} x - \frac{π}{3}) + 1$ B、 $2 s i n (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6}) + 1$ C、 $2 s i n (\frac{3}{2} x - \frac{3 π}{8}) + 1$ D、 $2 s i n (\frac{3}{2} x + \frac{π}{8}) + 1$

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12. 已知 $f (x) = l o g_{a} (x - 1) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒过定点 $M$ ，且点 $M$ 在直线 $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ）上，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、8 C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、4

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二、填空题

13. 已知集合 $A = {y | y = x^{2} - \frac{3}{2} x + 1 ， x \in [\frac{3}{4} ， 2]}$ ， $B = {x | x + m^{2} \geq 1}$ ．若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 5 \sqrt{2}$ ，则 $| \vec{b} | =$ ．

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15. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成 $1$ ，偶数换成 $0$ ，得到图②所示的由数字 $0$ 和 $1$ 组成的三角形数表，由上往下数，记第 $n$ 行各数字的和为 $S_{n}$ ，如 $S_{1} = 1$ ， $S_{2} = 2$ ， $S_{3} = 2$ ， $S_{4} = 4$ ，……，则 $S_{126} =$

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16. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .若 $b = 6, a = 2 c, B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b c o s A - a c o s B = 2 c$ .

(1)、证明： $t a n B = - 3 t a n A$ ；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + \sqrt{3} b c$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ．

(1)、求 $b_{1} ， b_{2} ， b_{3}$ ；

(2)、判断数列 ${b_{n}}$ 是否为等比数列，并说明理由；

(3)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且 $∠ B A P = ∠ C D P = 90^{\circ}$ .

(1)、证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)、若PA=PD=AB=DC ， $∠ A P D = 90^{\circ}$ ，求二面角A−PB−C的余弦值.

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20. 设函数 $f (x) = 2 t a n \frac{x}{4} \cdot c o s^{2} \frac{x}{4} - 2 c o s^{2} (\frac{x}{4} + \frac{π}{12}) + 1$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- π ， 0]$ 上的最值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、在函数 $f (x) = x^{2} - \ln x$ 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 $[\frac{1}{2} ， 1]$ 上.若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.

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22. 已知直线 $C_{1}$ ： ${\begin{array}{l} x = t c o s α \\ y = t s i n α \end{array}$ （ $t$ 为参数），圆 $C_{2}$ ： ${\begin{array}{l} x = t c o s α + 1 \\ y = t s i n α + 2 \end{array}$ （ $α$ 为参数）．

(1)、若直线 $C_{1}$ 经过点 $( 2 ， 3 )$ ，求直线 $C_{1}$ 的普通方程；若圆 $C_{2}$ 经过点 $( 2 ， 2 )$ ，求圆 $C_{2}$ 的普通方程；

(2)、点 $P$ 是圆 $C_{2}$ 上一个动点，若 $| O P |$ 的最大值为4，求 $t$ 的值．

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23. 已知 $f (x) = | x - a | x + | x - 2 | (x - a) .$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $x \in (- \infty, 1)$ 时， $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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