内蒙古包头市2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 3 < x < 4}$ ， $B = {0 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{3} B、 ${0 ， 2}$ C、 ${0 ， 2 ， 3}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $z = 1 + i$ ，则 $\bar{z} (z + 1) =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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3. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（）

A、π B、2π C、3π D、4π

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4. 下列区间中，函数 $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ 单调递增的区间是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， π)$ C、 $(π ， \frac{3 π}{2})$ D、 $(\frac{3 π}{2} ， 2 π)$

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5. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，点B为C的左顶点，动点A在C上，当 $A F_{2} ⊥ B F_{2}$ 时， $| A F_{2} | = | B F_{2} |$ ，且 $| A F_{1} | - | A F_{2} | = 2$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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6. 若 $t a n α = 3$ ，则 $\frac{s i n α (1 - s i n 2 α)}{s i n α - c o s α} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{6}{5}$

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7. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 5 x + 3 y - 15 \leq 0 \\ y - x - 1 \leq 0 \\ x - 5 y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 5 y$ 的最小值为（）

A、-11 B、17 C、11 D、017

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8. 某市气象局预报说，明天甲地降雨概率是0.3，乙地降雨概率是0.4，若明天这两地是否降雨相互独立，则明天这两地中恰有一个地方降雨的概率是（）

A、0.36 B、0.46 C、0.18 D、0.28

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9. 有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} + 3$ （ $i = 1$ ， 2，…，n），则（）

A、两组样本数据的样本标准差相同 B、两组样本数据的样本中位数相同 C、两组样本数据的样本平均数相同 D、两组样本数据的样本众数相同

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10. 已知 $D ､ E ､ F$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $B C$ ､ $C A$ ､ $A B$ 的中点，且 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ， $\vec{A B} = \vec{c}$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{B C} = \vec{0}$ C、 $\vec{C F} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{0}$

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11. 如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系是（）

A、 $A G / / C D$ B、 $C H ⊥ B G$ C、 $D E ⊥ B H$ D、 $B E / / D G$

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12. 已知点 $Q$ 在圆 $M ： {(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上，直线 $l ： 2 x - 3 y + 6 = 0$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $P$ 、 $R$ ，则下列结论中正确的有（）
①点 $Q$ 到直线 $l$ 的距离小于4.5②点 $Q$ 到直线 $l$ 的距离大于1③当 $∠ Q R P$ 最小时， $| R Q | = \sqrt{6}$ ④当 $∠ Q R P$ 最大时， $| R Q | = \sqrt{6}$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x^{3} (3^{- x} + a \cdot 3^{x})$ 是奇函数，则 $a =$ .

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14. 已知O为坐标原点，抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，P为C上一点， $P F$ 与x轴垂直，Q为x轴上一点，若P在以线段 $O Q$ 为直径的圆上，则该圆的方程为.

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15. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b s i n B = a s i n C$ ， $a c = 9$ ，且 $B = 6 0^{∘}$ ，则 $a + c =$ .

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16. 函数 $f (x) = | 3 x - 2 | - 6 l n \frac{x}{2}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{3}{2} a_{n} ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ .

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ，并求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前12项和.

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18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改普，人工栽培和野生植物数量不断增加.为调查该地区某种植物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据 $(x_{i} ， y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，…，15），其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种植物的数量，并计算得 $\sum_{i = 1}^{15} x_{i} = 45$ ， $\sum_{i = 1}^{15} y_{i} = 10500$ ， $\sum_{i = 1}^{15} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{15} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 8000$ ， $\sum_{i = 1}^{15} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 600$ .
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ .

(1)、求该地区这种植物数量的估计值（这种植物数量的估计值等于样区这种植物数量的平均数乘以地块数）；

(2)、求样本 $(x_{i} ， y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，…，15）的相关系数（精确到0.01）；

(3)、根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种植物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

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19. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = S C$ ， D为 $A C$ 的中点， $S D ⊥ A B$ .

(1)、证明：平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $△ B C D$ 是边长为3的等边三角形，点P在棱 $S C$ 上， $P C = 2 S P$ ，且 $V_{S - A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{5} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{5} ， 0)$ ，点P为平面内的动点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{5}$ .记点P的轨迹为C.

(1)、试说明曲线C的形状，并求C的方程；

(2)、设点M在直线 $x = 1$ 上，且M不在C上，过M的两条直线分别交C于A，B两点和R，H两点，且 $| M A | \cdot | M B | = | M R | \cdot | M H |$ ，直线 $A B$ 和 $R H$ 的斜率都存在且不为零，求直线 $A B$ 的斜率与直线 $R H$ 的斜率的比值.

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21. 已知函数 $f (x) = c o s x + l n (x + 1)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，证明：

(1)、 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， \frac{π}{2})$ 存在唯一极大值点；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 存在唯一极小值点；

(3)、 $f (x)$ 有且只有一个零点.

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22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 $C ： ρ s i n^{2} α = a c o s α (a > 0)$ ，过点 $M (1 ， 0)$ 的直线l的参数方程 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数），直线l与曲线C交于P､Q两点.

(1)、写出曲线C的直角坐标方程、直线 $l$ 的普通方程；

(2)、若 $| M P |$ ， $| M Q |$ ， $| P Q |$ 成等差数列，求a的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a^{2} | + | x - 4 a + 4 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 9$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 9$ ，求a的取值范围.

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