辽宁省大连市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 8 < 0} ， B = {x ∣ x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 4)$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(- 2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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2. 复数 $\frac{1 + i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 将函数 $f (x) = 3 s i n (x + \frac{π}{6})$ 的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，所得图像对应的函数解析式可以是（）

A、 $y = 3 s i n (x - \frac{π}{12})$ B、 $y = 3 s i n (x + \frac{2 π}{3})$ C、 $y = 3 s i n (x + \frac{5 π}{12})$ D、 $y = 3 s i n (x - \frac{π}{3})$

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4. 1970年4月24日中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，东方红一号发射的目标被归结为12个字：“上得去、抓得住、听得到、看得见”.然而，卫星本身是一个直径只有1米的球形72面体，在轨道上被太阳照射时亮度相当于7等星，而在天气、光线都好的情况下，人的肉眼基本看不见7等星.设计师们采用“借箭显星”：在第三级火箭上安装一个可以撑开的球(也称“观测球”)，观测球撑开时在太阳照射下的亮度相当于2等星，这样就实现了“看得见”这一目标.已知两颗星的星等与亮度满足： $m_{1} - m_{2} = 2.5 (l g E_{2} - l g E_{1})$ ，其中星等为 $m_{i}$ 的星的亮度为 $E_{i} (i = 1 ， 2)$ ，则在太阳照射下，观测球的亮度是卫星亮度的（）倍

A、100 B、50 C、10 D、5

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，曲线 $C$ 上存在一点 $P$ 使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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6. 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五种属性的物质组成，如图，分别是金、木、水、火、土这五行彼此之间存在的相生相克的关系.若从这五行中任选不同的两行，则这两行相克的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} c o s x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心，点 $P$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的边界及其内部移动，若 $D_{1} O ⊥ O P$ ，则异面直线 $D_{1} P$ 与 $A B$ 所成角的余弦值的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 变量 $x$ 与变量 $y$ 的20对数据记为 $(x_{i} ， y_{i})$ ，其中 $i \in N^{*} ， i \leq 20 ， \bar{x} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} x_{i} ， \bar{y} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} y_{i}$ ，根据最小二乘法求得回归直线方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，变量间的相关系数为 $r$ ，则下列说法中正确的是（）

A、利用回归直线方程计算所得的 ${\hat{y}}_{i}$ 与实际值 $y_{i}$ 必有误差 B、回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、若所有的点 $(x_{i} ， y_{i})$ 都在回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 上，则 $| r | = 1$ D、若变量 $x$ 与 $y$ 正相关，则 $r > 0$

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10. 已知两个正四棱锥，它们的所有棱长均为2，下列说法中正确的是（）

A、若将这两个正四棱锥的底面完全重合，得到的几何体的顶点都在半径为 $\sqrt{2}$ 的球面上 B、若将这两个正四棱锥的底面完全重合，得到的几何体中有6对棱互相平行 C、若将这两个正四棱锥的一个侧面完全重合，则两个棱锥的底面互相垂直 D、若将这两个正四棱锥的一个侧面完全重合，得到的几何体的表面积为 $8 + 6 \sqrt{3}$

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11. 若圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 4 a x + 4 a^{2} - 4 = 0$ 和圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 4 b y - 16 + 4 b^{2} = 0 (a ， b \in R)$ 恰有三条公切线，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{b + 3}{a - 3} \geq 1$ B、 $- 3 \sqrt{2} \leq a + b \leq 3 \sqrt{2}$ C、 $4 \leq (a - 3)^{2} + (b - 4)^{2} \leq 64$ D、 $- 3 \leq a b \leq 3$

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12. 如图所示，将平面直角坐标系中的格点 (横、纵坐标均为整数的点) 的横、纵坐标之和作为标签，例如：原点处标签为0，记为 $a_{0}$ ；点 $(1 ， 0)$ 处标签为1，记为 $a_{1}$ ；点 $(1 ， 1)$ 处标签为 2，记为 $a_{2}$ ；点 $(0 ， 1)$ 处标签为1，记为 $a_{3}$ ；点 $(- 1 ， 1)$ 处标签为0，记为 $a_{4} ； ⋯$ 以此类推，格点 $(i ， j) (i ， j \in Z)$ 处标签为 $i + j$ ，记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{2022} = - 2$ B、 $S_{2022} = - 1$ C、 $a_{8 n} = 0$ D、 $S_{4 n^{2} + 3 n} = \frac{n (n - 1)}{2}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 1 ， 2) ， \overset{⇀}{b} = (3 ， m)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 已知在 $(x - 2)^{n}$ 的展开式中，第3项和第10项的二项式系数相等，则展开式的系数和为.

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15. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 作一条直线与抛物线 $E$ 及其准线都相交，交点从左到右依次为 $A ， B ， C$ ，若 $\overset{⇀}{B A} + \sqrt{5} \overset{⇀}{B F} = \vec{0}$ ，则线段 $B C$ 的中点到 $x$ 轴的距离为.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 8 x}{m} - x + \frac{2 x^{2}}{e^{x}} (m \neq 0)$ 有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且有 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $(2 - \frac{e^{x_{1}}}{x_{1}}) \sqrt{(2 - \frac{e^{x_{2}}}{x_{2}}) (2 - \frac{e^{x_{3}}}{x_{3}})}$ 的值为.

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比 $q > 0 ， a_{1} + a_{2} = 6 ， a_{3} - a_{2} = 4$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $2 b = 2 a c o s C - c$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $A D = 2$ ，求边 $a$ 的最大值.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D ， B C = C D = A D = \frac{1}{2} A B = 2 ， P B ⊥ A D$ .

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、在下面三个条件中选择两个条件：___________，求点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离.① $P B = P D$ ；②二面角 $P - A D - B$ 为 $6 0^{∘}$ ；③直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 成角为60°.

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{2}{3} ， P$ 为椭圆 $E$ 上任意一点，且满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为1.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、经过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $△ F_{1} A B$ 的三边长 $| F_{1} A | ， | A B | ， | B F_{1} |$ 成等差数列，求 $△ F_{1} A B$ 的面积.

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21. 某地区出现了一种病毒性传染病疫情，该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏时间长，传染性极强的病毒.我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行病学调查，找到其密切接触者进行隔离观察.通过病毒指标检测，每位密切接触者为阳性的概率为 $1 - p (0 < p < 1)$ ，且每位密切接触者病毒指标是否为阳性相互独立.调查发现某位感染者共有10位密切接触者，将这10位密切接触者隔离之后立即进行病毒指标检测.检测方式既可以采用逐个检测，又可以采用“ $k$ 合1检测法”.“ $k$ 合1检测法”是将 $k$ 个样本混合在一起检测，混合样本中只要发现阳性，则该组中各个样本必须再逐个检测；若混合样本为阴性，则可认为该混合样本中每个人都是阴性.

(1)、若逐个检测，发现恰有2个人样本检测结果为阳性的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值点 $p_{0}$ ；

(2)、若采用“ 5合1检测法”，总检测次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、若采用“10合1检测法”，总检测次数 $Y$ 的数学期望为 $E (Y)$ ，以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为 $p$ 的值，试比较 $E (X)$ 与 $E (Y)$ 的大小(精确到0.1).
附： $2^{15} = 32768$ .

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x ， g (x) = a x - l n x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $x > 0$ 时， $f (x) \cdot g (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的最小值为 $m$ ，试证明：函数 $G (x) = e^{x - m} - l n x$ 有且仅有一个零点.

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