江西省新余市2022届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $z = 1 - i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\frac{2}{z} + \bar{z} =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + i$

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2. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{l o g_{0.5} (2 x - 1)}}$ ，集合 $B = {x | \sqrt[3]{4} - 2^{x} \geq 0}$ ，则 $A ∩ B$ 等于（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{2}{3}]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[\frac{2}{3} ， 1]$

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3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值 $a_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 12)$ （五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 若 $\tan (\frac{π}{4} - x) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sin 2 x =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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5. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ $| \vec{b} | = 3$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $s i n ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数 $f (x) = \frac{2^{x} l n x^{2}}{4^{x} + 1}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 直线 $y = 2 x - 1$ 被过点 $(0 ， 1)$ 和 $(2 ， 1)$ ，且半径为 $\sqrt{5}$ 的圆截得的弦长为（）

A、 $\frac{\sqrt{105}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{105}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{145}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 某地市场调查发现， $\frac{3}{5}$ 的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为 $\frac{3}{4}$ ，而在实体店购买的家用小电器的合格率为 $\frac{9}{10}$ .现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{11}{15}$ C、 $\frac{15}{19}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形 $A F_{2} B F_{1}$ 的周长Р与面积S满足 $P^{2} = 32 S$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 已知 $△ A B C$ 三内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{3} c c o s A + a s i n C = 0$ ，若角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于 $D$ 点，且 $A D = 1$ ，则 $b + c$ 的最小值为

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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11. 在棱长为 $2$ 的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E是正方形BB₁C₁C的中心，M为C₁D₁的中点，过A₁M的平面 $α$ 与直线DE垂直，则平面 $α$ 截正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁所得的截面面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ D、3

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12. 设A，B是抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 上两个不同的点，О为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为-4，则下列结论正确的有（）
① $| A B | \geq 4$ ② $| O A | + | O B | > 8$ ③直线AB过抛物线C的焦点④ $△ O A B$ 面积的最小值是2

A、①③④ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

13. 已知 $a = \int_{0}^{\frac{π}{2}} c o s x d x$ ，则 ${(x - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项是.

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14. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x + y \leq 3 \\ x + 2 y \geq 4 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = \frac{y}{x + 1}$ 的最大值是.

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15. 等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $0 < q < 1$ ， $a_{1016}^{2} = a_{2022}$ ，则使 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} > \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}}$ 成立的正整数 $n$ 的最大值为.

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16. 已知 $f (x) = (a x + l n x) (x - l n x) - x^{2}$ 恰有三个不同零点，则a的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、若数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 是等差数列，且 $b_{1} = 2$ ， $b_{3} = 14$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A = P B = P C = A B = A C$ ， $E$ 是 $P A$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、若 $B C = \frac{\sqrt{6}}{2} A B$ ，求二面角 $E - A B - C$ 的正弦值．

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19. 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为

m (m \in [70 ， 100])

，其质量指标等级划分如下表：

质量指标值 $m$	$[70 ， 75)$	$[75 ， 80)$	$[80 ， 85)$	$[85 ， 90)$	$[90 ， 100]$
质量指标等级	良好	优秀	良好	合格	废品

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值 $m$ 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

(1)、若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件

A

，求事件

A

发生的概率；

(2)、若从质量指标值

m \geq 85

的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值

m \in [90 ， 95)

的件数

X

的分布列及数学期望；

(3)、若每件产品的质量指标值

m

与利润

y

（单位：元）的关系如下表

(1 < t < 4)

：

质量指标值 $m$	$[70 ， 75)$	$[75 ， 80)$	$[80 ， 85)$	$[85 ， 90)$	$[90 ， 100]$
利润 $y$ （元）	$6 t$	$8 t$	$4 t$	$2 t$	$- \frac{5}{3} e^{t}$

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定 $t$ 为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值： $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 5 \approx 1.6$ ）.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{4}{5}$ 相切于点 $M (\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若不经过点P的直线 $l$ 与椭圆C交于A ， B两点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ ＝0，求证：直线l过定点.

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21. 已知函数 $f (x) = x s i n x + 2 c o s x + x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.

(1)、证明： $f^{'} (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， 2 π)$ 内存在唯一零点.

(2)、当 $x \in [\frac{π}{2} ， 2 π]$ 时， $f (x) \leq a x$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知直线 $l$ 在平面直角坐标系中经过点 $P (\frac{1}{2} ， 1)$ ，倾斜角 $α = \frac{π}{4}$ ，在直角坐标系 $x O y$ 中，若以 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = c o s θ + s i n θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的参数方程，并把圆 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程；

(2)、设 $l$ 与圆 $C$ 相交于A，B两点，且A，B的中点为M，求PM的长及 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | ， g (x) = - | x + 3 | + m$ ．

(1)、解关于x的不等式 $f (x) + a - 1 > 0 (a \in R)$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图像恒在函数 $g (x)$ 图像的上方，求m的取值范围．

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