江苏省南通市如皋市、镇江市2021-2022学年高三上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | l o g_{6} (x + 1) < 1 ， x \in N} ， Q = {1 ， 3 ， 5}$ ， M＝P∪Q，则集合M中的元素共有（）

A、4个 B、6个 C、8个 D、无数个

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2. “函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知随机变量X服从正态分布 $N (4 ， σ^{2})$ ，且 $P (3 \leq X \leq 5) = 0.86$ ，则 $P (X < 3) =$ （）

A、0.43 B、0.28 C、0.14 D、0.07

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4. 已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、－ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ， a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} = 1 ， n \in N^{*}$ ，则 $a_{2022} =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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6. 已知函数f(x)＝x³＋ax²－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（）

A、1 B、 $- \frac{5}{27}$ C、 $- \frac{25}{27}$ D、－1

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满 $\vec{F P} = 2 \vec{F Q}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知 $a$ ＝ $\sqrt{e}$ ， b＝3－ln4，c＝ $\frac{3}{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜b＜a D、c＜a＜b

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二、多选题

9. 关于复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ (i为虚数单位)，下列说法正确的是（）

A、|z|＝1 B、z＋z²＝－1 C、z³＝－1 D、(z＋1)³＝i

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10. 已知函数 $f (x) = 2 (c o s x + s i n x) c o s x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) \geq f (\frac{5}{8} π)$ B、 $f (\frac{π}{8} + x) = f (\frac{π}{8} - x)$ C、 $f (\frac{π}{8} + x) + f (\frac{π}{8} - x) = 0$ D、 $f (1) > f (2)$

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11. 如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A₁：恰好挑出的是1、2、3；记事件A₂：恰好挑出的是1、4、7；记事件A₃：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（）
1
2
3
4
5
6
7
8
9

A、事件A₁ ， A₂是互斥事件 B、事件A₁ ， A₂是独立事件 C、P(A₁|A₃)＝P(A₂|A₃) D、P(A₃)＝P(A₁)＋P(A₂)

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12. 瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（）

A、△ABC的外心为(－1，1) B、△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0) C、△ABC的垂心坐标可能为(－2，0) D、△ABC的重心坐标可能为 $(- \frac{4}{3} ， \frac{2}{3})$

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三、填空题

13. ${(x + \frac{1}{x} + 2)}^{3}$ 展开式中的常数项为.

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14. 已知圆O：x²＋y²＝1，M，N，P是圆O上的三个动点，且满足∠MON＝ $\frac{π}{2} ， \vec{O P} = λ \vec{M N}$ ，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} =$ .

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15. 已知抛物线y²＝8x，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若 $| A B | ＝ 9$ ， $\overset{⇀}{A F} = λ \overset{⇀}{F B}$ ，则λ＝.

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16. 已知三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝ $\frac{π}{2}$ ， ∠BAC＝ $\frac{π}{3}$ ，则点A到平面BCD的距离为，该三棱锥的外接球的体积为.

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四、解答题

17. 已知在△ABC中，D为边BC上一点， $C D = 3$ ， $2 A C = 3 A D = \sqrt{3} A B$ ， $c o s ∠ C A D = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求AD的长；

(2)、求sinB．

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18. 已知数列{an}中，a₁＝0，an_＋₁＝an＋(－1)n⋅n.

(1)、求a₂n；

(2)、设bn＝ $\frac{1}{a_{2 n} \cdot a_{2 (n + 1)}}$ ，求数列{bn}的前n项和.

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19. 已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分.

(1)、若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；

(2)、若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列.

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20. 如图，已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁ ，底面ABC是等腰直角三角形，
AA₁＝AB＝ $\sqrt{2}$ BC＝4，∠A₁AB＝60°，cos∠BCC₁＝ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ， M，N分别是棱B₁C₁ ， A₁B₁的中点.

(1)、证明：NB⊥平面A₁B₁C₁；

(2)、求直线AM与平面BB₁C₁C所成角的正弦值.

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21. 设椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点M $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、设椭圆E的右顶点为A，过定点 $N (1 ， 0)$ 且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线 $x = 4$ 的交点分别为P，Q，求 $△ A P Q$ 面积的最小值.

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22. 设f(x)＝xex－mx² ， m∈R.

(1)、设g(x)＝f(x)－2mx，讨论函数y＝g(x)的单调性；

(2)、若函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点x₁ ， x₂ ，证明：x₁＋x₂＞2.

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