河南省新乡市2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x - 1 > 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x - 18 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(\frac{1}{2} ， 6)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 3)$ C、 $(- 3 ， 6)$ D、 $(- 6 ， 3)$

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2. l，m是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，若 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则“l//m”是“ $α / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y - 6 \leq 0 \\ x - y - 3 \leq 0 \\ x + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则z＝x＋3y的最大值为（）

A、3 B、8 C、10 D、18

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4. 已知O为坐标原点，A是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点A到C的焦点F的距离为 $\frac{25}{4}$ ，到y轴的距离为 $\frac{9}{4}$ ，则△OFA的面积为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、12 C、 $6 \sqrt{2}$ D、16

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5. 已知 $t a n (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$ ，则 $c o s (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{12}{13}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $- \frac{5}{13}$ D、 $- \frac{12}{13}$

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6. 《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的要逐步退出．为了了解学生对校内开设食品小卖部的意见，某校对100名在校生 $30$ 天内在该校食品小卖部消费过的天数进行统计，将所得数据按照 $[0 ， 5)$ 、 $[5 ， 10)$ 、 $[10 ， 15)$ 、 $[15 ， 20)$ 、 $[20 ， 25)$ 、 $[25 ， 30]$ 分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（）

A、该校学生每月在食品小卖部消费过的天数不低于20的学生比率估计为20% B、该校学生每月在食品小卖部消费过的天数低于10的学生比率估计为32% C、估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值不低于15 D、估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于10至15之间

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7. 已知函数 $f (x) = s i n x$ ， $g (x) = x^{2} + 1$ ，则部分图象大致为如图的函数可能是（）

A、 $y = f (x) + g (x)$ B、 $y = f (x) - g (x)$ C、 $y = f (x) g (x)$ D、 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$

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8. 函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象是由函数 $g (x)$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度得到的，若 $g (\frac{π}{3}) = - f (\frac{π}{3})$ ，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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9. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $A B$ 上一点，且 $\vec{A E} \cdot \vec{D F} = 0$ ，则 $\vec{B D} \cdot \vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{17}{5}$ D、 $- \frac{17}{5}$

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10. 线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构．一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，周长与面积分别记为 $a_{1}$ ， $S_{1}$ ，图2中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为 $a_{2}$ ， $S_{2}$ ，以此类推，图n中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为 $a_{n}$ ， $S_{n}$ ，其中图n中每个正六边形的边长是图n－1中每个正六边形边长的 $\frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、图4中共有294个正六边形 B、 $a_{3} = \frac{100}{3}$ C、 $S_{n} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times {(\frac{7}{9})}^{n - 1}$ D、存在正数m，使得 $a_{n} \leq m$ 恒成立

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点P在该双曲线的右支上，且 $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ ，过点 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线的垂线，垂足为A．若 $| A F_{2} | = \frac{\sqrt{2}}{2} b$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x - 2} - e^{2 - x} + 1$ ，数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n + p$ （p是常数）， $f (a_{3}) + f (a_{4}) + f (a_{5}) + f (a_{6}) + f (a_{7}) = 5$ ，则 ${[f (a_{5})]}^{2} - a_{4} a_{6} =$ （）

A、0 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

13. 已知i是虚数单位，iz－z＝1＋2i，则 $| z | =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - b l n x - 1$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = (2 e - 1) x$ ，则 $a - 2 b =$ .

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15. 已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在球O的球面上，PA⊥AB，平面ABC⊥平面PAB，AB＝2，AC＝1， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ，若该棱锥外接球的表面积为20π，则该棱锥的体积为．

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16. 中国书法一般分为篆书､隶书､行书､楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草､今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书､隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草､今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字不能相邻，则不同的排法种数为.

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三、解答题

17. 锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ${(s i n B - s i n C)}^{2} = s i n^{2} A - s i n B s i n C$ ．

(1)、求A；

(2)、b＝2，求△ABC面积的取值范围．

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18. 现有一枚质地均匀的骰子和一个黑色盒子，盒子中装有编号为1~6的6支签.甲､乙两人进行一场游戏，游戏规则如下：甲负责投掷骰子，乙负责抽签.若甲投掷的骰子点数与乙抽出的签的编号相同，则本场游戏结束；若骰子的点数与签的编号不相同，竹签放回，再由甲､乙两人进行下一轮的投掷骰子和抽签.第五轮投掷骰子和抽签时，不论骰子的点数与签的编号是否相同，都结束本场游戏.

(1)、求本场游戏只进行一轮投掷骰子和抽签的概率；

(2)、用 $ξ$ 表示本场游戏结束时投掷骰子和抽签的轮数，求随机变量 $ξ$ 的分布列和期望.

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19. 如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，∠BDC=120°， $D C = 2 \sqrt{2}$ ， AD=BD=2，E，F，G分别是BD，AD，AC的中点，平面EFG与BC交于H.

(1)、在BC上确定H的位置，并证明FH⊥EG；

(2)、求平面EFG与平面BCD所成的锐二面角的余弦值.

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20. 在直角坐标系xOy中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ， M是平面内一动点，且 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 4$ ，记M的轨迹为曲线C．

(1)、求C的方程；

(2)、设直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (1 < r < 2)$ 相切于点A，与C相切于点B，求 $| A B |$ 的取值范围．

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21. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 的极小值为0，求a的值.

(2)、当 $a = 0$ 时，函数 $g (x) = [1 - f^{'} (x)] [1 + f (x)] + \frac{1}{e^{x}}$ ，证明： $g (x)$ 无零点.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），曲线 $C_{1}$ 经过伸缩变换 $φ ： {\begin{array}{l} x^{'} = \sqrt{2} x \\ y^{'} = \sqrt{3} y \end{array}$ 得到曲线 $C_{2}$ ．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若A，B是曲线 $C_{2}$ 上的两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，求 $| \vec{A B} |$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - m | + | 3 x - 1 |$ ．

(1)、若 $m = - 1$ ，求不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in R$ ， $\exists a > - \frac{1}{2}$ ， $f (x + 1) \geq a + \frac{2}{2 a + 1}$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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