河南省南阳市2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - x - a > 0}$ ，若 $A ∩ B = {x | 2 < x < 3}$ ，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、6

查看试题解析
2. 若 $z = 2 + i$ ，则 $| z + \frac{1}{z} | =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{65}}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{65}}{5}$

查看试题解析
3. 已知函数 $f (x) = l g \frac{1 - x}{1 + x}$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (e^{x})}{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 ${x | x < 0}$ B、 ${x | x < 0 ，且 x \neq - 2}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

查看试题解析
4. 已知 $s i n x + 2 c o s y = 1$ ，则 $s i n x \cdot c o s y$ （）

A、最大值为 $\frac{1}{8}$ ，最小值为-1 B、最大值为 $\frac{1}{8}$ ，最小值为-3 C、最大值为0，最小值为-3 D、最大值为0，最小值为-1

查看试题解析
5. 在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（）

A、107钱 B、102钱 C、101钱 D、94钱

查看试题解析
6. 已知三棱锥P-BCD， $P D = 2 \sqrt{5}$ ，其余各棱长均为4，E为棱PB的中点，则三棱锥E-PCD的体积是（）

A、 $\frac{20 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{35}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{35}}{3}$

查看试题解析
7. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

查看试题解析
8. $\int_{- 1}^{1} (\sqrt{4 - x^{2}} + s i n x) d x =$ （）

A、 $\frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{π}{3} + \sqrt{3}$ C、 $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ D、 $π + \sqrt{3}$

查看试题解析
9. 2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（）

A、15种 B、16种 C、17种 D、18种

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} s i n x$ ，则当 $x \in (0 ， 2 π)$ 时，函数 $f (x)$ 一定有（）

A、极大值，且极大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、极小值，且极小值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、极大值，且极大值为0 D、极小值，且极小值为0

查看试题解析
11. 已知 $(1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} + 3 {(1 + x)}^{3} + ⋯ + 10 {(1 + x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、 $9 C_{11}^{3}$ B、 $\frac{28}{3} C_{11}^{3}$ C、 $\frac{29}{3} C_{11}^{3}$ D、 $10 C_{11}^{3}$

查看试题解析
12. 设 $a = \frac{1}{4} e^{\frac{2}{5}}$ ， $b = \frac{2}{5} e^{\frac{1}{4}}$ ， $c = \frac{3}{10}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (2 ， t)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是.

查看试题解析
14. 设抛物线 $y^{2} = 6 x$ 上一点P到其焦点F的距离为 $\frac{9}{2}$ ， O为坐标原点，则△POF的面积为.

查看试题解析
15. 某空间几何体的三视图如图所示（图中已标数据），则该几何体的外接球表面积为.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x < m \\ x \cdot 2^{x} ， x \geq m \end{array}$ ，若对任意 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，恒有 $\frac{x_{1} f (x_{2}) - x_{2} f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} < 1$ 成立，则实数m的取值范围是.

查看试题解析

三、解答题

17. 学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模（应用）能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在45~95之间，分为 $[45 ， 55)$ ， $[55 ， 65)$ ， $[65 ， 75)$ ， $[75 ， 85)$ ， $[85 ， 95]$ 五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.

参考数据：若 $X ～ N (μ ， σ^{3})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $\sqrt{119} \approx 10.9$ ， $0.954 4^{6} \approx 0.76$ ， $0.977 2^{5} \approx 0.89$ ， $0.977 2^{6} \approx 0.87$ .

(1)、请根据频率分布直方图估计样本的平均数 $\bar{X}$ 和方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数 $\bar{X}$ 近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中μ近似为样本平均数 $\bar{X}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ .

①求 $P (47.2 < X < 79.9)$ ；
②学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰.若某班正好有6人参与了这次测试，求这个班至少有1人获得表彰的概率.

查看试题解析
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面 $P A B ⊥$ 底面ABCD，平面 $P A D ⊥$ 底面ABCD， $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = A B = \sqrt{2}$ ， $A D = 2 B C = 2$ ， E是PD的中点.

(1)、求证： $P A ⊥$ 底面ABCD；

(2)、求二面角B-AC-E的余弦值.

查看试题解析
19. 在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} s i n C + c o s C = \frac{s i n B + s i n C}{s i n A}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的内切圆半径 $r = 2$ ，求 $A B + A C$ 的最小值.

查看试题解析
20. 已知圆O： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ .

(1)、求证：过圆O上点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 的切线方程为 $x_{0} x + y_{0} y = r^{2}$ .类比前面的结论，写出过椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $N (x_{0} ， y_{0})$ 的切线方程（不用证明）.

(2)、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， Q为直线 $x = 4$ 上任一点，过点Q作椭圆C的切线，切点分别为A､B，利用（1）的结论，求证：直线AB恒过定点.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a l n x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(2)、证明： $\sum_{i = 2}^{n} (\frac{1}{i l n i}) > \frac{3 n^{2} - n - 2}{2 n (n + 1)}$ .

查看试题解析
22. 在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{3 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ y = \frac{4 t}{1 + t^{2}} \end{array}$ （t为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的极坐标方程分别为 $θ = θ_{0}$ ， $θ = θ_{0} + \frac{π}{2} (θ_{0} \in (0 ， π))$ ， $l_{1}$ 交曲线E于点A，B， $l_{2}$ 交曲线E于点C，D.

(1)、求曲线E的普通方程及极坐标方程；

(2)、求证： ${| B C |}^{2} + {| A D |}^{2}$ 为定值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - m x$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求不等式 $f (x) \leq 7$ 的解集；

(2)、若 $m = 0$ ，记函数 $g (x) = f (x) - f (- x + 4)$ ，且 $g (x)$ 的最大值为M，若 $a > \frac{1}{2}$ ，求证： $M a + \frac{1}{2 a - 1} ≥ 3$ .

查看试题解析